📐 Matemáticas

El lenguaje de todo lo demás: del límite a las ecuaciones diferenciales.

Cálculo

📖 Teoría

El porqué detrás del formulario.md. Aquí van las ideas y las deducciones; las fórmulas sueltas para lookup están en el formulario. Ref. principal: Stewart, Calculus. Fórmulas en LaTeX (KaTeX), como en el formulario. Estado: núcleo de Cálculo.

1. Límite: la idea que sostiene todo

El cálculo nace de una pregunta: ¿qué le pasa a $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$ sin llegar? La definición ε-δ formaliza «tan cerca como quieras»: para cualquier tolerancia $\varepsilon$ en la salida, existe una tolerancia $\delta$ en la entrada que la garantiza. Todo lo demás (continuidad, derivada, integral, series) es un límite disfrazado. Por eso dominar límites es dominar el resto.

Continuidad = el límite coincide con el valor: $\lim f = f(a)$. Sin saltos ni huecos.
Los teoremas fuertes de funciones continuas en cerrados (Bolzano/TVI, Weierstrass) son existenciales: garantizan que hay raíz o hay máximo, sin decir dónde. Son la base de métodos numéricos (bisección) y de demostraciones de existencia.

2. Derivada: tasa de cambio instantánea y mejor aproximación lineal

$f'(a)$ es el límite del cociente incremental: pendiente de la recta tangente. Dos lecturas que conviene tener simultáneamente: 1. Física: velocidad de cambio de $f$ respecto a su variable. 2. Aproximación: cerca de $a$, $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$. La derivada es la mejor recta que imita a $f$. Esto generaliza a Taylor (mejor polinomio) y a varias variables (plano tangente).

De dónde salen las reglas: producto y cadena no son arbitrarias; se deducen del cociente incremental. La cadena es la más importante porque casi toda función real es composición.

Teorema del valor medio (Lagrange): $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ para algún $c$. Es el puente entre comportamiento local (derivada) y global (variación total). De él se deducen los criterios de monotonía ($f’>0 \Rightarrow$ creciente) y casi todo el análisis de funciones.

Taylor es derivar la idea de aproximación hasta el final: si una recta aproxima con el 1er orden, un polinomio de grado n aproxima con orden n. El resto de Lagrange acota el error: dice cuánto te equivocas, lo que convierte a Taylor en herramienta cuantitativa, no solo cualitativa.

3. Integral: acumulación, y por qué es la inversa de derivar

La integral definida se define como límite de sumas de Riemann (acumular $f(x)\cdot\Delta x$): área, trabajo, masa… cualquier cosa que se obtenga sumando contribuciones infinitesimales.

El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es el resultado central de la asignatura: conecta los dos problemas que parecían independientes (tangentes ↔ áreas). – Parte 1: $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f = f(x)$ — acumular y luego derivar se cancelan. – Parte 2 (Barrow): $\int_a^b f = F(b)-F(a)$ — calcular un área se reduce a evaluar una primitiva.

La consecuencia práctica: integrar = deshacer derivar. Por eso las técnicas de integración (sustitución = cadena al revés; por partes = regla del producto al revés) son reglas de derivación leídas en sentido inverso.

4. Series: sumar infinitos términos sin que explote

Una serie converge si sus sumas parciales tienen límite finito. La condición $a_n\to 0$ es necesaria pero no suficiente (la armónica $\sum \dfrac{1}{n}$ lo cumple y diverge): el error clásico es confundirlas. Los criterios (cociente, raíz, comparación, integral) son maneras de comparar con algo conocido (geométrica, p-serie). Las series de potencias cierran el círculo con el §2: son «polinomios infinitos» y dentro de su radio de convergencia se derivan e integran término a término, lo que las hace la forma natural de representar funciones (y la base de Taylor analítico).

5. Varias variables: el gradiente manda

Al pasar a $f(x,y,\dots)$ la derivada se desdobla en parciales (una por dirección de eje). El objeto clave es el gradiente $\nabla f$: vector que apunta en la dirección de máximo crecimiento y cuyo módulo es la tasa máxima. Tres consecuencias que se usan constantemente: – La derivada direccional es la proyección del gradiente: $D_u f = \nabla f\cdot u$. – $\nabla f$ es perpendicular a las curvas/superficies de nivel → de ahí salen los planos tangentes. – Lagrange: optimizar con restricción $g=k$ ocurre donde $\nabla f$ es paralelo a $\nabla g$ (no puedes mejorar $f$ sin violar la restricción). Es geometría pura, no un truco.

Integrales múltiples son acumulación en 2D/3D; el jacobiano $|J|$ es el factor que corrige cómo un cambio de variables estira/comprime el área/volumen (el $r$ de polares y el $\rho^{2}\sin\varphi$ de esféricas son jacobianos concretos). Los teoremas de Green/Stokes/Gauss son todos el mismo TFC subido de dimensión: relacionan lo que pasa en el borde con lo que pasa en el interior.

6. EDOs: modelar el cambio

Una EDO relaciona una función con sus derivadas: es el lenguaje natural de la física e ingeniería (todo lo que evoluciona). Resolver = encontrar la familia de funciones que la cumplen; las condiciones iniciales seleccionan una. – Las lineales son las dominantes porque son tratables y modelan sistemas en régimen pequeño. La de 2º orden con coeficientes constantes describe el oscilador (masa-muelle, RLC): la ecuación característica traduce la EDO en un polinomio, y la naturaleza de sus raíces dice el régimen físico — sobreamortiguado (reales distintas), crítico (doble), oscilatorio (complejas).

7. Laplace: por qué convierte ecuaciones en álgebra

La transformada $\mathcal{L}\{f\}(s)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$ cambia el dominio del tiempo $t$ al dominio $s$. Su propiedad estrella, $\mathcal{L}\{f’\} = sF – f(0)$, hace que derivar se vuelva multiplicar por s: una EDO con condiciones iniciales se transforma en una ecuación algebraica en $F(s)$, se despeja, y se antitransforma (fracciones parciales + tabla). Ventajas frente al método clásico: incorpora las condiciones iniciales desde el principio y maneja con naturalidad entradas discontinuas o impulsos (escalón de Heaviside, delta de Dirac) — justo lo que aparece en circuitos y control.

8. Sistemas de EDOs: autovalores como régimen

Un sistema $x’ = A\cdot x$ acopla varias variables. La clave conceptual: en la dirección de un autovector el sistema se comporta como una EDO escalar simple, con tasa dada por el autovalor. Por eso los autovalores de $A$ gobiernan todo el comportamiento cualitativo (crecimiento/decaimiento y oscilación) y su parte real decide la estabilidad del equilibrio. Es la misma idea de diagonalizar de Álgebra lineal aplicada a la dinámica — el puente directo hacia la siguiente materia.

🧭 Métodos

«Qué hago cuando me cae un problema de tipo X». Recetas accionables; la teoría está en teoria.md y las fórmulas en formulario.md. Ref. principal: Stewart. Fórmulas en LaTeX (KaTeX), como en el formulario.

M1. Calcular un límite

Sustituye directamente. Si sale un número, fin.
Si sale indeterminación identifícala ($\dfrac00$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^{\infty}$, $0^{0}$, $\infty^{0}$).
Elige herramienta: – $\dfrac00$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ con derivables → L’Hôpital (deriva arriba y abajo, repite si hace falta). – Cocientes/productos con $x\to 0$ → infinitésimos equivalentes (¡nunca dentro de una resta!). – $\infty-\infty$ → combina en una fracción (común denominador, conjugado) y vuelve a 1. – $1^{\infty}$ → $\lim f^{g} = e^{\lim g\cdot(f-1)}$ o toma logaritmos.
Comprueba con un valor cercano al límite (sanity check numérico).

M2. Estudiar una función (gráfica)

Dominio → cortes y signo → asíntotas (vertical: denominador 0; horizontal/oblicua: $x\to\pm\infty$) → $f’$ (crecimiento y extremos) → $f»$ (concavidad e inflexiones) → tabla de signos → esbozo.

M3. Optimización (máx/mín de 1 variable)

Define la magnitud a optimizar y exprésala en una sola variable usando la restricción.
Fija el dominio real del problema (intervalo físico).
Deriva, iguala a 0 → puntos críticos. 4. Clasifica (2º criterio o cambio de signo de $f’$).
Compara también los extremos del intervalo. 6. Verifica que la solución tiene sentido físico.

M4. Integrar (indefinida) — árbol de decisión

¿Es inmediata o casi (tabla)? Ajusta constante y listo.
¿Hay una función y su derivada dentro? → sustitución $u=g(x)$.
¿Producto de tipos distintos (polinomio·exp, polinomio·trig, ln, arc…)? → por partes (ILATE para elegir $u$: Inversa, Log, Algebraica, Trig, Exponencial).
¿Cociente de polinomios? Si grado arriba $\ge$ abajo, divide primero; luego fracciones parciales.
¿Potencias/productos de trigonométricas? Identidades de reducción o $t=\tan(x/2)$.
¿Raíces $\sqrt{a^{2}\pm x^{2}}$? Sustitución trigonométrica ($x=a\sin\theta$, $a\tan\theta$, $a\sec\theta$).
Comprueba derivando el resultado: debe dar el integrando.

M5. Integral definida / aplicaciones

Halla primitiva (M4) → aplica Barrow $F(b)-F(a)$. Para áreas con cambio de signo, parte el intervalo y suma $\int\lvert f\rvert$. Volúmenes: discos $\pi\int f^{2}$, capas $2\pi\int x\cdot f$. Longitud $\int\sqrt{1+f’^{\,2}}$. Impropias: escribe el límite explícito y estudia si converge (p-test / comparación).

M6. Convergencia de una serie

Test del término: ¿$a_n\to 0$? Si no, diverge (fin). Si sí, no concluye nada.
¿Tipo conocido? Geométrica ($\lvert r\rvert<1$), p-serie ($p>1$).
Positiva → cociente o raíz (límite $<1$ conv, $>1$ div); si $=1$, prueba comparación o integral.
Alternada → Leibniz (decreciente y $\to 0$). Distingue convergencia absoluta de condicional.
Serie de potencias → halla radio $R$ (cociente/raíz) y estudia los extremos aparte.

M7. Extremos de f(x,y) (varias variables)

$\nabla f = 0$ → puntos críticos. 2. Hessiana $D = f_{xx}\cdot f_{yy} – f_{xy}^{2}$ en cada punto: $D>0,\ f_{xx}>0$→mín; $D>0,\ f_{xx}<0$→máx; $D<0$→silla; $D=0$→no decide (analiza a mano).
Con restricción $g=k$: Lagrange — resuelve $\nabla f=\lambda\nabla g$ junto con $g=k$; compara valores de $f$.

M8. Integral múltiple

Dibuja la región (es el 80% del trabajo). 2. Elige orden de integración / sistema de coordenadas según la geometría: simetría circular → polares ($dA=r\,dr\,d\theta$); cilindro → cilíndricas; esfera → esféricas ($dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$). 3. Pon límites desde la región, no de memoria.
Si el cambio no es estándar, calcula el jacobiano $\lvert J\rvert$ y multiplica. 5. Integra de dentro afuera.

M9. Resolver una EDO — identificar el tipo primero

Orden 1, ¿separable? $\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ → separa e integra ambos lados.
Orden 1 lineal $y’+P(x)y=Q(x)$ → factor integrante $\mu=e^{\int P}$ → $y=\dfrac{1}{\mu}\int\mu Q\,dx$.
Exacta ($M_y=N_x$) → halla $F$ con $F_x=M$, $F_y=N$. Si no es exacta, busca factor integrante.
Bernoulli $y’+Py=Qy^{n}$ → sustitución $v=y^{1-n}$ la linealiza.
Orden 2 coef. constantes homogénea → ecuación característica $ar^{2}+br+c=0$: reales distintas → $C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$; doble → $(C_1+C_2x)e^{rx}$; complejas $\alpha\pm\beta i$ → $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$.
No homogénea → $y=y_h+y_p$; halla $y_p$ por coeficientes indeterminados (si $Q$ es polinomio/exp/seno-coseno) o variación de parámetros (caso general).
Aplica condiciones iniciales al final, sobre la solución general, para fijar las constantes.

M10. Resolver un PVI con Transformada de Laplace

Aplica $\mathcal{L}$ a toda la ecuación; usa $\mathcal{L}\{y’\}=sY-y(0)$, $\mathcal{L}\{y»\}=s^{2}Y-sy(0)-y'(0)$.
Sustituye las condiciones iniciales (ya entran aquí, ventaja del método).
Despeja $Y(s)$ algebraicamente.
Antitransforma: descompón $Y(s)$ en fracciones parciales y lee la tabla al revés; usa traslación $e^{-as}$ (escalón) y $F(s-a)$ (factor $e^{at}$) si aparecen.
Comprueba que $y(t)$ cumple las condiciones iniciales.

M11. Sistema lineal $x’ = A\cdot x$

$\det(A-\lambda I)=0$ → autovalores $\lambda_i$. 2. Para cada $\lambda$, resuelve $(A-\lambda I)v=0$ → autovector.
Construye soluciones: real → $v\,e^{\lambda t}$; complejo $\alpha\pm\beta i$ → separa parte real e imaginaria ($e^{\alpha t}(a\cos\beta t – b\sin\beta t)$ y su pareja); repetido defectivo → añade $(vt+w)e^{\lambda t}$ con $(A-\lambda I)w=v$.
Solución general = combinación con constantes; fíjalas con $x(0)$.
Estabilidad: mira $\operatorname{Re}(\lambda_i)$ (todos $<0 \Rightarrow$ estable). Alternativa con CI: vía Laplace $(sI-A)X = x(0)$ y antitransformar.

Comprobación final (vale para TODO — disciplina de la ventana, ver PROTOCOLO §D)

Análisis dimensional/coherencia + sanity check (signo, orden de magnitud, casos límite). En integrales, derivar el resultado; en EDOs, sustituir en la ecuación. Si no cuadra, no se entrega: se revisa.

✍️ Ejercicios resueltos

Calibración de cómo respondo: identificar tipo → fórmula gobernante → desarrollo → resultado → comprobación. Referencia: Stewart. Cada ejercicio cita la sección del formulario.md que aplica. Estado: lote inicial 2026-06-16; crece con cada tema y con las correcciones de David.

E1 · Límite con indeterminación 0/0 (§1)

Calcular $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{5x}$. – Tipo: $\dfrac00$. Notable $\dfrac{\sin u}{u}\to 1$. – $\dfrac{\sin 3x}{5x} = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}$. Con $u=3x\to0$: $\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 1$. – Resultado: $\dfrac{3}{5}$. – Comprobación (equivalente $\sin 3x\sim 3x$): $\dfrac{3x}{5x} = \dfrac{3}{5}$. ✔

E2 · L’Hôpital (§1)

Calcular $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}}$. – Tipo $\dfrac00$. Aplico L’Hôpital: $\dfrac{e^{x}-1}{2x}$ → sigue $\dfrac00$ → $\dfrac{e^{x}}{2}\to\dfrac12$. – Resultado: $\dfrac{1}{2}$. – Comprobación (Taylor $e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} + \dots$): numerador $\sim \dfrac{x^{2}}{2}$, dividido por $x^{2}$ = $\dfrac12$. ✔

E3 · Derivada con regla de la cadena + producto (§3)

Derivar $f(x) = x^{2}\cdot e^{3x}$. – Producto: $f’ = (x^{2})’\cdot e^{3x} + x^{2}\cdot(e^{3x})’$. Cadena: $(e^{3x})’ = 3\,e^{3x}$. – $f’ = 2x\cdot e^{3x} + x^{2}\cdot 3\,e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^{2})$. – Resultado: $f'(x) = x\cdot e^{3x}(2 + 3x)$. – Comprobación en $x=0$: $f'(0)=0$; coherente, $f$ tiene mínimo ($f\ge0$, $f(0)=0$). ✔

E4 · Optimización (extremo) (§4)

Caja sin tapa de volumen 32 con base cuadrada; minimizar superficie de material. – Variables: base $x$, altura $h$. Restricción $V = x^{2}\cdot h = 32$ → $h = \dfrac{32}{x^{2}}$. – Superficie $S = x^{2} + 4xh = x^{2} + 4x\cdot\dfrac{32}{x^{2}} = x^{2} + \dfrac{128}{x}$. – $S’ = 2x – \dfrac{128}{x^{2}} = 0$ → $2x^{3} = 128$ → $x^{3} = 64$ → $x = 4$. – $h = \dfrac{32}{16} = 2$. $S» = 2 + \dfrac{256}{x^{3}} > 0$ $\Rightarrow$ mínimo. Resultado: $x=4$, $h=2$, $S=48$. – Comprobación dimensional/sanity: base $4\times4$, altura $2$ → $V=32$ ✔; $S=16+4\cdot4\cdot2=48$ ✔.

E5 · Integración por partes (§5)

Calcular $\displaystyle\int x\cdot e^{x}\,dx$. – ILATE → $u=x$ ($du=dx$), $dv=e^{x}\,dx$ ($v=e^{x}$). – $\displaystyle\int u\,dv = uv – \int v\,du = x\cdot e^{x} – \int e^{x}\,dx = x\cdot e^{x} – e^{x} + C$. – Resultado: $e^{x}(x – 1) + C$. – Comprobación (derivar): $e^{x}(x-1) + e^{x} = e^{x}\cdot x$. ✔

E6 · Integral definida + área (§6)

Área entre $y = x$ y $y = x^{2}$ en $[0,1]$. – Cortes: $x = x^{2}$ → $x=0$, $x=1$. En $(0,1)$ la recta va por encima ($x \ge x^{2}$). – $A = \displaystyle\int_0^1 (x – x^{2})\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} – \dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}$. – Resultado: $A = \dfrac{1}{6}$. – Comprobación: ambas funciones en $[0,1]$ están en $[0,1]$; área $< 0.5$ razonable. ✔

E7 · EDO lineal de 1er orden (factor integrante) (§9)

Resolver $y’ + 2y = e^{-x}$, $y(0)=1$. – Forma $y’+P y=Q$, $P=2$, $Q=e^{-x}$. Factor $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. – $(\mu y)’ = \mu Q = e^{2x}\cdot e^{-x} = e^{x}$ → $\mu y = \displaystyle\int e^{x}\,dx = e^{x} + C$ → $y = e^{-x} + C\cdot e^{-2x}$. – Con $y(0)=1$: $1 = 1 + C$ → $C=0$. Resultado: $y = e^{-x}$. – Comprobación: $y’=-e^{-x}$; $y’+2y = -e^{-x}+2e^{-x}=e^{-x}$ ✔; $y(0)=1$ ✔.

E8 · EDO lineal 2º orden homogénea (raíces complejas) (§9)

Resolver $y» + 2y’ + 5y = 0$. – Característica: $r^{2} + 2r + 5 = 0$ → $r = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = -1 \pm 2i$ ($\alpha=-1$, $\beta=2$). – Resultado: $y = e^{-x}(C_1\cdot\cos 2x + C_2\cdot\sin 2x)$. – Comprobación: oscilación amortiguada ($\operatorname{Re}(r)<0$ → decae); coherente con $2y’$ (amortiguamiento) $> 0$. ✔

E9 · Multiplicadores de Lagrange (§8)

Maximizar $f = x\cdot y$ sujeto a $x + y = 10$. – $\nabla f = (y, x)$, $\nabla g = (1,1)$. $\nabla f = \lambda\nabla g$ → $y=\lambda$, $x=\lambda$ → $x=y$. Con $x+y=10$ → $x=y=5$. – Resultado: máximo $f=25$ en $(5,5)$. – Comprobación (AM–GM): para suma fija, el producto es máximo cuando son iguales. ✔

📋 Formulario

BD de fórmulas para lookup al calcular. Fórmulas en LaTeX (se renderizan con KaTeX en la web — regla C10: fracciones con \dfrac, numerador arriba y denominador abajo; nunca en una línea con /). Referencia principal (fijada por David 2026-06-16): Stewart, Calculus (enfoque operativo/aplicado). Apoyo: Boyce–DiPrima (EDOs); NIST DLMF (funciones especiales). Estado: en construcción; crece.

📌 Para la MATRIZ: activar KaTeX en WordPress. Delimitadores: $...$ en línea, $$...$$ en bloque.

1. Límites

Definición (ε-δ): $\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \forall\,\varepsilon>0\ \exists\,\delta>0 :\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$.
Álgebra de límites (si existen ambos): suma, producto y cociente se reparten; el cociente exige $\lim g \neq 0$.
Límites notables:
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0 \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1 \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac1x\right)^{x}=e \qquad \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$
Indeterminaciones: $\dfrac00,\ \dfrac{\infty}{\infty},\ 0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^{\infty},\ 0^{0},\ \infty^{0}$ → resolver con álgebra, equivalentes o L’Hôpital.
L’Hôpital ($\frac00$ o $\frac{\infty}{\infty}$, con $f,g$ derivables y $g’\neq0$ cerca de $a$): $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f’}{g’}$ (si este existe).
Infinitésimos equivalentes ($x\to 0$): $\sin x\sim x$, $\ \tan x\sim x$, $\ 1-\cos x\sim \dfrac{x^{2}}{2}$, $\ e^{x}-1\sim x$, $\ \ln(1+x)\sim x$, $\ (1+x)^{a}-1\sim a\,x$. (Solo en productos/cocientes, no en sumas y restas.)

2. Continuidad y derivabilidad

$f$ continua en $a \iff \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Derivable $\Rightarrow$ continua (no al revés).
TVI (Bolzano): $f$ continua en $[a,b]$ con $f(a)\cdot f(b)<0 \Rightarrow \exists\,c\in(a,b)$ con $f(c)=0$.
Weierstrass: $f$ continua en $[a,b]$ (cerrado y acotado) $\Rightarrow$ alcanza máximo y mínimo absolutos.

3. Derivadas

Definición: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Reglas: – Linealidad: $(a\,f + b\,g)’ = a\,f’ + b\,g’$. – Producto: $(f\,g)’ = f’\,g + f\,g’$. – Cociente: $\left(\dfrac{f}{g}\right)’ = \dfrac{f’\,g – f\,g’}{g^{2}}$. – Cadena: $(f\circ g)'(x) = f’\!\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$. – Inversa: $(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}$ con $y=f(x)$. – Implícita: derivar ambos lados respecto a $x$ tratando $y=y(x)$ y despejar $y’$. – Logarítmica (para $y=f^{\,g}$): $\ln y = g\,\ln f \ \Rightarrow\ y’ = y\left(g’\ln f + g\,\dfrac{f’}{f}\right)$.

Tabla (derivadas):

$f(x)$	$f'(x)$
$x^{n}$	$n\,x^{n-1}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
$\cot x$	$-\csc^{2}x$
$\sec x$	$\sec x\,\tan x$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^{2}}$
$\sinh x$	$\cosh x$
$\cosh x$	$\sinh x$
$\tanh x$	$\dfrac{1}{\cosh^{2}x}$

4. Aplicaciones de la derivada

Crecimiento: $f’>0$ ↗, $f'<0$ ↘. Extremos en puntos críticos ($f’=0$ o no existe).
2º criterio: $f'(c)=0$, $f»(c)>0 \Rightarrow$ mínimo local; $f»(c)<0 \Rightarrow$ máximo local.
Concavidad: $f»>0$ convexa ($\cup$), $f»<0$ cóncava ($\cap$); inflexión donde cambia.
Taylor alrededor de $a$: $\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^{k} + R_n$. Resto de Lagrange: $R_n = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}$, con $\xi$ entre $a$ y $x$.
MacLaurin ($a=0$) útiles:
$\displaystyle e^{x}=\sum_{k\ge0}\frac{x^{k}}{k!}$
$\displaystyle \sin x=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}\,x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
$\displaystyle \cos x=\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}\,x^{2k}}{(2k)!}$
$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k+1}\,x^{k}}{k}\quad(|x|<1)$
$\displaystyle (1+x)^{a}=\sum_{k\ge0}\binom{a}{k}x^{k}\quad(|x|<1)$ (binomio generalizado)
Teoremas del valor medio: Rolle; Lagrange $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$; Cauchy.

5. Integración (indefinida)

Tabla (inmediatas, $+\,C$):

$\displaystyle\int$	resultado
$\displaystyle\int x^{n}\,dx\ (n\neq-1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx$	$\ln\lvert x\rvert$
$\displaystyle\int e^{x}\,dx$	$e^{x}$
$\displaystyle\int a^{x}\,dx$	$\dfrac{a^{x}}{\ln a}$
$\displaystyle\int \sin x\,dx$	$-\cos x$
$\displaystyle\int \cos x\,dx$	$\sin x$
$\displaystyle\int \sec^{2}x\,dx$	$\tan x$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx$	$\arctan x$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$	$\arcsin x$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}\,dx$	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}\,dx$	$\ln\left\lvert x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\,\right\rvert$

Técnicas: – Sustitución: $\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$, con $u=g(x)$. – Por partes: $\displaystyle\int u\,dv = u\,v – \int v\,du$. (Orden ILATE para elegir $u$.) – Fracciones parciales: descomponer el cociente de polinomios (denominador factorizado). – Trigonométricas: $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$, $\ \cos^{2}x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$; sustitución $t=\tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big)$.

6. Integral definida y TFC

TFC parte 1: $F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt \Rightarrow F'(x)=f(x)$ ($f$ continua).
TFC parte 2 (Barrow): $\displaystyle\int_a^b f = F(b) – F(a)$, con $F$ primitiva de $f$.
Leibniz (límites variables): $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v)\,v’ – f(u)\,u’$.
Aplicaciones: área $\displaystyle\int|f|$; volumen de revolución (discos) $\pi\displaystyle\int f^{2}\,dx$, (capas) $2\pi\displaystyle\int x\,f\,dx$; longitud de arco $\displaystyle\int \sqrt{1+f’^{\,2}}\,dx$; valor medio $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f$.
Impropias: convergen si el límite existe (comparación / $p$-test: $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^{p}}$ converge $\iff p>1$).

7. Series

$\sum a_n$ converge $\iff$ la sucesión de sumas parciales tiene límite finito. Necesario: $a_n\to 0$ (no suficiente).
Geométrica: $\displaystyle\sum_{n\ge0} r^{n} = \dfrac{1}{1-r}$ si $|r|<1$.
Criterios: comparación; cociente ($\lim\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert=L$: $<1$ conv, $>1$ div); raíz; integral; Leibniz (alternadas).
Series de potencias: radio $R = \dfrac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}}$; derivar/integrar término a término dentro de $|x|<R$.

8. Varias variables

Derivadas parciales y diferencial: – Parcial: $f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ (deriva en $x$ tratando lo demás como constante). Clairaut: $f_{xy}=f_{yx}$ si continuas. – Diferencial total: $df = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz$. – Gradiente: $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$. Apunta al máximo crecimiento; $|\nabla f|$ = tasa máxima. – Derivada direccional ($u$ unitario): $D_u f = \nabla f \cdot u$. – Plano tangente a $z=f(x,y)$ en $(a,b)$: $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$.

Regla de la cadena multivariable: si $z=f(x,y)$, $x=x(t)$, $y=y(t)$: $\dfrac{dz}{dt} = f_x\,x'(t) + f_y\,y'(t)$. (Generaliza con un sumatorio sobre las variables intermedias.)

Extremos: – Puntos críticos: $\nabla f = 0$. Hessiana $H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}$, $\ D = f_{xx}\,f_{yy} – f_{xy}^{2}$. – $D>0,\ f_{xx}>0 \Rightarrow$ mínimo local; $\ D>0,\ f_{xx}<0 \Rightarrow$ máximo local; $\ D<0 \Rightarrow$ punto de silla; $\ D=0 \Rightarrow$ no decide. – Multiplicadores de Lagrange (extremos de $f$ sujeto a $g=k$): resolver $\nabla f = \lambda\,\nabla g$, $\ g=k$.

Integrales múltiples: – Doble (Fubini): $\displaystyle\iint_R f\,dA = \iint f(x,y)\,dx\,dy$ (orden intercambiable en regiones buenas). – Polares: $dA = r\,dr\,d\theta \ \Rightarrow\ \displaystyle\iint f\,dA = \iint f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$. – Triple: $\displaystyle\iiint f\,dV$. Cilíndricas $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$; esféricas $dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$. – Cambio de variable (jacobiano): $\displaystyle\iint f\,dx\,dy = \iint f\,|J|\,du\,dv$, con $J = \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\!\begin{bmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{bmatrix}$.

Cálculo vectorial: – Divergencia $\operatorname{div} F = \nabla\cdot F = P_x+Q_y+R_z$; rotacional $\operatorname{rot} F = \nabla\times F$. – Integral de línea: $\displaystyle\int_C F\cdot dr$. Campo conservativo si $F=\nabla f$ ($\iff \nabla\times F = 0$ en dominio simplemente conexo); entonces $\displaystyle\int_C F\cdot dr = f(\text{fin}) – f(\text{inicio})$ (independiente del camino). – Green: $\displaystyle\oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \iint_R (Q_x – P_y)\,dA$. – Stokes: $\displaystyle\oint_C F\cdot dr = \iint_S (\nabla\times F)\cdot n\,dS$. Divergencia (Gauss): $\displaystyle\iint_{\partial V} F\cdot n\,dS = \iiint_V (\nabla\cdot F)\,dV$.

9. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) (núcleo; se ampliará)

1er orden separables: $\dfrac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \ \Rightarrow\ \displaystyle\int \dfrac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$.
Lineal 1er orden: $y’ + P(x)\,y = Q(x)$. Factor integrante $\mu = e^{\int P\,dx} \ \Rightarrow\ (\mu\,y)’ = \mu\,Q \ \Rightarrow\ y = \dfrac{1}{\mu}\displaystyle\int \mu\,Q\,dx$.
Exactas: $M\,dx + N\,dy = 0$ es exacta si $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$; solución $F$ con $F_x=M$, $F_y=N$.
Bernoulli: $y’ + P\,y = Q\,y^{n} \ \Rightarrow\ $ el cambio $v=y^{1-n}$ la linealiza.
Lineal 2º orden coef. constantes $a\,y» + b\,y’ + c\,y = 0$: ecuación característica $a\,r^{2} + b\,r + c = 0$.
Raíces reales distintas $r_1, r_2$: $y = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x}$.
Real doble $r$: $y = (C_1 + C_2\,x)\,e^{r x}$.
Complejas $\alpha\pm\beta i$: $y = e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x\big)$.
No homogénea: $y = y_h + y_p$ (coef. indeterminados o variación de parámetros).

9.1 Transformada de Laplace

Definición: $\mathcal{L}\{f\}(s) = F(s) = \displaystyle\int_0^\infty e^{-st}\,f(t)\,dt$, para $s$ donde la integral converge (existe si $f$ es continua a trozos y de orden exponencial: $|f(t)| \le M\,e^{ct}$). Es lineal.

Tabla (transformadas directas, $t\ge0$):

$f(t)$	$F(s) = \mathcal{L}\{f\}$	dominio
$1$	$\dfrac{1}{s}$	$s>0$
$t^{n}\ (n\in\mathbb{N})$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$	$s>0$
$e^{at}$	$\dfrac{1}{s-a}$	$s>a$
$\sin(\omega t)$	$\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$	$s>0$
$\cos(\omega t)$	$\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}$	$s>0$
$\sinh(at)$	$\dfrac{a}{s^{2}-a^{2}}$	$s>\lvert a\rvert$
$\cosh(at)$	$\dfrac{s}{s^{2}-a^{2}}$	$s>\lvert a\rvert$
$t^{n}e^{at}$	$\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}$	$s>a$
$e^{at}\sin(\omega t)$	$\dfrac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}$	$s>a$
$e^{at}\cos(\omega t)$	$\dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}$	$s>a$
$u(t-a)$ (escalón Heaviside)	$\dfrac{e^{-as}}{s}$	$s>0$
$\delta(t-a)$ (delta de Dirac)	$e^{-as}$	—

Propiedades operacionales (lo que la hace útil para EDOs): – Derivadas: $\mathcal{L}\{f’\} = s\,F(s) – f(0)$; $\ \mathcal{L}\{f»\} = s^{2}F(s) – s\,f(0) – f'(0)$. General: $\mathcal{L}\{f^{(n)}\} = s^{n}F – s^{n-1}f(0) – \cdots – f^{(n-1)}(0)$. (Convierte derivar en multiplicar por $s$.) – Integral: $\mathcal{L}\left\{\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\} = \dfrac{F(s)}{s}$. – 1er teorema de traslación (en $s$): $\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s-a)$. – 2º teorema de traslación (en $t$): $\mathcal{L}\{u(t-a)\,f(t-a)\} = e^{-as}\,F(s)$. – Multiplicación por $t$: $\mathcal{L}\{t^{n} f(t)\} = (-1)^{n}\,F^{(n)}(s)$. – Convolución: $\mathcal{L}\{(f*g)(t)\} = F(s)\cdot G(s)$, con $(f*g)(t) = \displaystyle\int_0^t f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau$. – Valor inicial/final: $f(0^{+}) = \lim_{s\to\infty} s\,F(s)$; $\ \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to0} s\,F(s)$ (si existen).

Inversa: $f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$. En la práctica: fracciones parciales + tabla leída al revés (+ teoremas de traslación). La inversa es lineal y única (para funciones continuas, teorema de Lerch).

9.2 Sistemas de EDOs lineales 1er orden $x’ = A\,x$ ($A$ matriz $n\times n$, constante)

Método de autovalores/autovectores (homogéneo): resolver $\det(A – \lambda I) = 0$ → autovalores $\lambda_i$.
$\lambda$ real, autovector $v$: solución $x = v\,e^{\lambda t}$.
$\lambda$ real repetido (defectivo): añadir $(v\,t + w)\,e^{\lambda t}$ con $(A-\lambda I)\,w = v$ (vector generalizado).
Par complejo $\lambda = \alpha\pm\beta i$ con autovector $v = a\pm b\,i$: dos soluciones reales $e^{\alpha t}(a\cos\beta t – b\sin\beta t)$ y $e^{\alpha t}(a\sin\beta t + b\cos\beta t)$.
Solución general: combinación lineal $x = \sum_i C_i\,x_i(t)$.
Estabilidad del origen (plano de fases): por los $\operatorname{Re}(\lambda)$ — todos $<0 \Rightarrow$ estable; algún $>0 \Rightarrow$ inestable. Clasificación $2\times2$: nodo ($\lambda$ reales mismo signo), silla (signos opuestos), foco/espiral (complejos $\alpha\neq0$), centro (imaginarios puros).
Exponencial de matriz: $x(t) = e^{At}\,x(0)$, con $e^{At} = \displaystyle\sum_{k\ge0} \dfrac{(At)^{k}}{k!}$. Cumple $\dfrac{d}{dt}\,e^{At} = A\,e^{At}$.
No homogéneo $x’ = A\,x + g(t)$: $x = x_h + x_p$ (variación de parámetros: $x_p = e^{At}\displaystyle\int e^{-At}\,g\,dt$).
Vía Laplace (alternativa, útil con condiciones iniciales): transformar cada ecuación → sistema algebraico $(sI – A)\,X(s) = x(0) + G(s)$ → despejar $X(s)$ → antitransformar.

Pendiente de ampliar (siguientes entregas)

Funciones especiales (DLMF) · más ejercicios en ejercicios-resueltos.md · ampliar metodos.md con casos límite. Cálculo: núcleo cerrado (formulario §1–9 + teoria + metodos).

Álgebra

📖 Teoría

El porqué del formulario.md, a nivel repaso operativo: ideas y geometría que hacen que las recetas tengan sentido, sin demostraciones largas. Ref.: Strang, Linear Algebra (visión geométrica). Las fórmulas sueltas están en el formulario; las recetas en metodos.md.

1. La idea central: una matriz es una transformación

Strang insiste en esto: $A x$ no es solo «multiplicar», es transformar el vector $x$. Una matriz mueve, rota, estira o proyecta vectores del espacio. Casi todo el álgebra lineal es entender qué le hace una matriz al espacio. Hay tres maneras de leer $A x = b$ y conviene tenerlas las tres: – Por filas: cada ecuación es un hiperplano; la solución es su intersección. – Por columnas (la que prefiere Strang): $b$ como combinación lineal de las columnas de A. $Ax=b$ tiene solución $\iff b$ está en el espacio columna. Esta lectura desbloquea casi todo. – Como transformación: $A$ lleva el vector $x$ al vector $b$.

2. Sistemas: por qué Gauss funciona

Eliminar es aplicar operaciones que no cambian el conjunto de soluciones (sumar a una fila un múltiplo de otra, intercambiar, escalar). Llevas el sistema a una forma triangular donde se ve todo: los pivotes que aparecen son la cantidad real de información independiente. El rango = nº de pivotes = cuántas ecuaciones son «de verdad» distintas. De ahí sale Rouché–Frobenius sin memorizar: si el rango de $A$ y el de $A\mid b$ coinciden, $b$ es alcanzable; si además iguala al nº de incógnitas, no quedan grados de libertad → solución única. Si sobran columnas sin pivote → variables libres → infinitas soluciones.

3. Determinante: factor de volumen (y test de invertibilidad)

Geométricamente, $\det A$ es el factor por el que A multiplica volúmenes (área en 2D). Si $\det=0$, la transformación aplasta el espacio en una dimensión menor (manda volumen a cero): pierde información y por eso no es invertible. Signo del determinante = si conserva o invierte la orientación. Todo lo demás (Sarrus, cofactores) son solo formas de calcularlo.

4. Independencia, base y dimensión

Independientes = ninguno es combinación de los otros = ninguno es «redundante».
Base = el conjunto mínimo de vectores independientes que generan todo el espacio: el «sistema de coordenadas» del espacio. Cualquier vector se escribe de forma única en una base.
Dimensión = tamaño de la base (no depende de cuál elijas).
Los cuatro subespacios de A (columna, fila, núcleo, núcleo izquierdo) son el corazón del libro de Strang. El teorema rango-nulidad ($\text{rango} + \text{nulidad} =$ nº columnas) es contabilidad: las columnas con pivote aportan al espacio columna; las libres, al núcleo. Nada se pierde.

5. Autovalores: las direcciones que la matriz respeta

La pregunta clave: ¿hay direcciones donde $A$ actúa de forma simple, solo estirando sin girar? Esas son los autovectores, y el factor de estiramiento es el autovalor $\lambda$ ($Av=\lambda v$). En esas direcciones la transformación se reduce a multiplicar por un número. Por eso: – $\sum\lambda = \text{traza}$ y $\prod\lambda = \det$: dos chequeos rápidos casi gratis. – Los autovalores capturan el comportamiento a largo plazo (potencias $A^{k}$, dinámica, estabilidad).

6. Diagonalizar = elegir la base correcta

Si juntas suficientes autovectores como base, en esa base la matriz es diagonal: $A=PDP^{-1}$. Esto es solo «mirar la transformación desde su sistema de coordenadas natural», donde solo estira cada eje. La ganancia operativa es enorme: $A^{k} = P D^{k} P^{-1}$ convierte potencias difíciles en elevar números, y conecta directo con los sistemas de EDOs ($e^{At}$) del Cálculo y con el régimen permanente de circuitos. Caso premium: matriz simétrica $\Rightarrow$ siempre diagonalizable con base ortonormal (teorema espectral) — la situación ideal y la más frecuente en física/ingeniería.

7. Ortogonalidad: el ángulo recto lo simplifica todo

El producto escalar mide ángulos y longitudes; perpendicular $\iff$ producto escalar 0. Trabajar con bases ortonormales es cómodo porque las coordenadas se obtienen por proyección directa y no hay «deformación». Gram–Schmidt fabrica una base ortonormal a partir de una cualquiera, y los mínimos cuadrados son pura geometría: cuando $Ax=b$ no tiene solución, se proyecta $b$ sobre el espacio columna y se resuelve lo más cerca posible (ecuaciones normales $A^{T} A \hat{x} = A^{T} b$). Es la base del ajuste de datos y la regresión.

8. Por qué esto es la base de circuitos y estructuras

Circuitos: las leyes de Kirchhoff dan un sistema lineal $A x = b$ (incógnitas = tensiones de nodo o corrientes de malla). Resolver el circuito = resolver el sistema. En AC, los complejos (§11 del formulario) convierten derivadas en multiplicaciones (fasores).
Estructuras: el método matricial de rigidez plantea $K\cdot u = F$ (K = matriz de rigidez, u = desplazamientos, F = fuerzas). Calcular la estructura = invertir/resolver ese sistema. Los modos de vibración son un problema de autovalores. Por eso Álgebra va antes que esas materias.

🧭 Métodos

«Qué hago cuando me cae un problema de tipo X». Nivel repaso operativo. Teoría en teoria.md, fórmulas en formulario.md. Ref.: Strang. Fórmulas en LaTeX (KaTeX) como en el formulario.

M1. Resolver $A x = b$ por eliminación de Gauss

Escribe la matriz ampliada $[A \mid b]$.
Crea ceros bajo el primer pivote (resta múltiplos de la fila pivote). Repite columna a columna → forma escalonada (triangular superior).
Si aparece una fila $[0\ 0\ \dots\ 0 \mid c]$ con $c\neq0$ → incompatible (sin solución). Para.
Sustitución regresiva desde la última ecuación hacia arriba.
Si hay columnas sin pivote → esas variables son libres (parámetros) → infinitas soluciones; expresa las básicas en función de las libres.
Comprueba sustituyendo en una ecuación original.

M2. Clasificar un sistema (Rouché–Frobenius)

Calcula $r(A)$ y $r(A\mid b)$ (nº de pivotes de cada uno) y $n$ = nº de incógnitas: – $r(A)=r(A\mid b)=n$ → única. · $r(A)=r(A\mid b)<n$ → infinitas ($n-r$ libres). · $r(A)\neq r(A\mid b)$ → incompatible.

M3. Calcular un determinante

$2\times2$/$3\times3$: fórmula directa / Sarrus.
$n\ge4$ o con ceros: triangulariza por Gauss (sin escalar filas) y multiplica la diagonal; cada intercambio de filas cambia el signo. Alternativa: cofactores por la fila/columna con más ceros.
Atajo: triangular o con fila/columna de ceros → lee el resultado directo.

M4. Invertir una matriz

Comprueba $\det A \neq 0$ (si es 0, no hay inversa; para).
$2\times2$: fórmula directa. · General: Gauss-Jordan sobre $[A \mid I]$ hasta $[I \mid A^{-1}]$.
Verifica $A\cdot A^{-1}=I$ (al menos un par de entradas).

M5. Hallar una base y la dimensión de un subespacio

De un conjunto de vectores (span): ponlos como filas, reduce a escalonada; las filas no nulas son una base; su número = dimensión.
Espacio columna de A: reduce A; las columnas con pivote (en la original) forman base de $\operatorname{Col}(A)$.
Núcleo de A: resuelve $Ax=0$; expresa la solución general con las variables libres → los vectores que multiplican a cada parámetro forman base del núcleo. Chequeo: $\dim\operatorname{Col} + \dim\operatorname{Nul} =$ nº columnas.

M6. Comprobar independencia lineal

Forma la matriz con los vectores como columnas y reduce: independientes $\iff$ pivote en cada columna (rango = nº de vectores). Para $n$ vectores en $\mathbb{R}^{n}$: independientes $\iff \det \neq 0$.

M7. Calcular autovalores y autovectores

Plantea $\det(A – \lambda I) = 0$ → polinomio característico; resuélvelo → autovalores $\lambda_i$.
Para cada $\lambda_i$: resuelve el sistema homogéneo $(A – \lambda I)v = 0$ (Gauss) → autovectores (autoespacio).
Chequeos: $\sum\lambda$ debe dar $\operatorname{traza}(A)$ y $\prod\lambda$ debe dar $\det(A)$. Si no, revisa.

M8. Diagonalizar $A$

Halla autovalores y autovectores (M7).
¿Hay $n$ autovectores independientes? (mult. geométrica = algebraica en cada λ). Si no, A no es diagonalizable; para.
$P$ = autovectores en columnas; $D$ = diagonal con los $\lambda$ en el mismo orden. Entonces $A=PDP^{-1}$.
Para potencias: $A^{k} = P D^{k} P^{-1}$. Verifica $AP = PD$ (más barato que invertir).

M9. Diagonalización ortogonal (matriz simétrica)

Halla autovalores/autovectores (serán reales/ortogonales). 2. Normaliza cada autovector (divídelo por su norma); si un λ está repetido, aplica Gram-Schmidt dentro de su autoespacio.
$Q$ = autovectores ortonormales en columnas → $A = Q D Q^{T}$ ($Q^{-1}=Q^{T}$, gratis).

M10. Gram–Schmidt (ortonormalizar una base)

$u_1 = v_1$. 2. $u_k = v_k – \sum_{j<k} \operatorname{proj}_{u_j}(v_k)$, con $\operatorname{proj}_u(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u$.
Normaliza al final: $e_i = \dfrac{u_i}{\lVert u_i\rVert}$. Chequeo: $e_i\cdot e_j = 0$ ($i\neq j$), $e_i\cdot e_i = 1$.

M11. Mínimos cuadrados ($Ax=b$ sin solución exacta)

Plantea las ecuaciones normales $A^{T} A \hat{x} = A^{T} b$. 2. Resuélvelas (Gauss / inversa de $A^{T} A$).
$\hat{x}$ es la mejor solución (minimiza $\lVert Ax-b\rVert$). Uso típico: ajustar una recta/curva a datos.

M12. Cambio de base / matrices semejantes

Coordenadas: con $P$ = (vectores de la nueva base en columnas), $[v]_{\text{vieja}} = P\,[v]_{\text{nueva}}$, y $[v]_{\text{nueva}} = P^{-1}[v]_{\text{vieja}}$.
Matriz de una transformación en la nueva base: $B’ = P^{-1} B P$. Semejantes comparten det, traza y λ.

M13. Operar con números complejos

Suma/resta: componente a componente. Producto: distributiva con $i^{2}=-1$, o polar (módulos por, argumentos +). División: multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador.
Potencias/raíces: pasa a polar y usa De Moivre. Raíces n-ésimas: n puntos equiespaciados ($\Delta\theta=\dfrac{2\pi}{n}$).

Comprobación final (disciplina de la ventana, PROTOCOLO §D)

Sistemas: sustituye la solución. Inversa/diagonalización: multiplica y compara con I / con A. Autovalores: traza y determinante. Si no cuadra, no se entrega: se revisa.

✍️ Ejercicios resueltos

Calibración / test del formulario y los métodos. Formato: fórmula/método → desarrollo → resultado → comprobación. Nivel repaso operativo. Ref.: Strang. Fórmulas en LaTeX (KaTeX) como en el formulario.

E1 · Sistema 3×3 por Gauss (M1)

Resolver: $x+y+z=6$, $2x-y+z=3$, $x+2y-z=2$. – Ampliada $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right]$. R2←R2−2R1: $[\,0\ \ -3\ \ -1 \mid -9\,]$. R3←R3−R1: $[\,0\ \ 1\ \ -2 \mid -4\,]$. – De R3: $y=2z-4$. En R2: $-3(2z-4)-z=-9 \Rightarrow -7z=-21 \Rightarrow z=3$. Luego $y=2$, $x=6-2-3=1$. – Resultado: $(x,y,z)=(1,2,3)$. – Comprobación: eq2: $2-2+3=3$ ✓; eq3: $1+4-3=2$ ✓.

E2 · Discusión con parámetro (Rouché–Frobenius) (M2)

Discutir según $a,b$: $x+y+z=1$, $x+2y+z=2$, $x+y+az=b$. – $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (2a-1)-(a-1)+(1-2) = a-1$. – Si $a\neq1$: $\det\neq0 \Rightarrow$ solución única para cualquier $b$. – Si $a=1$: R3−R1 da $[\,0\ \ 0\ \ 0 \mid b-1\,]$. Si $b\neq1 \Rightarrow$ incompatible; si $b=1 \Rightarrow$ fila redundante, $r=2<3 \Rightarrow$ infinitas (1 grado de libertad). – Comprobación: el caso $a=1,b=1$ deja $x+y+z=1$ y $x+2y+z=2$ → restando $y=1$, $x+z=0$ (familia) ✓.

E3 · Determinante 3×3 (cofactores) (M3)

$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 8 \end{bmatrix}$. – $\det = 2(0\cdot8-2\cdot1) – 1(1\cdot8-2\cdot4) + 3(1\cdot1-0\cdot4) = 2(-2) – 1(0) + 3(1) = -4+0+3$. – Resultado: $\det A = -1$ ($\neq0 \Rightarrow$ invertible). – Comprobación: desarrollo por la 2ª fila: $-1\cdot(1\cdot8-3\cdot1) + 0 – 2\cdot(2\cdot1-1\cdot4) = -1(5) -2(-2) = -5+4=-1$ ✓.

E4 · Inversa 2×2 (+ verificación) (M4)

$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$. $\det = 2\cdot3 – 1\cdot5 = 1$. – $A^{-1} = \dfrac{1}{\det}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$. – Comprobación: $A\cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2\cdot3+1\cdot(-5) & 2\cdot(-1)+1\cdot2 \\ 5\cdot3+3\cdot(-5) & 5\cdot(-1)+3\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ✓.

E5 · Base de Col(A) y del núcleo (M5)

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$. – Reducción: R2←R2−2R1 $=[\,0\ \ 0\ \ 0\,]$; R3←R3−R1 $=[\,0\ \ -1\ \ -2\,]$. Pivotes en columnas 1 y 2 $\Rightarrow r=2$. – $\operatorname{Col}(A)$: columnas 1 y 2 originales → base $\{(1,2,1),(2,4,1)\}$, dim 2. – Núcleo: $-y-2z=0 \Rightarrow y=-2z$; $x+2y+3z=0 \Rightarrow x=-2(-2z)-3z=z$. Con $z=t$: $(t,-2t,t)=t(1,-2,1)$. Base del núcleo $\{(1,-2,1)\}$, dim 1. – Comprobación (rango-nulidad): $2 + 1 = 3 =$ nº columnas ✓. Y $A\cdot(1,-2,1)^{T}=(0,0,0)^{T}$ ✓.

E6 · Autovalores y autovectores (M7)

$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ (simétrica). – $\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)^{2} – 1 = \lambda^{2} -4\lambda +3 = (\lambda-1)(\lambda-3) \Rightarrow \lambda=1,\ 3$. – $\lambda=3$: $(A-3I)=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \Rightarrow v=(1,1)$. $\lambda=1$: $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow v=(1,-1)$. – Comprobación: $\sum\lambda=4=\operatorname{tr}(A)$ ✓; $\prod\lambda=3=\det(A)$ ✓; autovectores ortogonales $(1,1)\cdot(1,-1)=0$ ✓.

E7 · Diagonalización y potencia A^k (M8)

Con la $A$ de E6: $P=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $D=\operatorname{diag}(3,1)$, $P^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$. – $A^{k} = P D^{k} P^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 3^{k}+1 & 3^{k}-1 \\ 3^{k}-1 & 3^{k}+1 \end{bmatrix}$. – Comprobación: $k=1 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = A$ ✓.

E8 · Gram–Schmidt (M10)

Ortonormalizar $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(1,0,1)$. – $u_1=(1,1,0)$. $\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\dfrac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1=\dfrac{1}{2}(1,1,0)$. $u_2=v_2-(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0)=(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1)$. – Normalizar: $e_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$; $\lVert u_2\rVert=\sqrt{\tfrac{3}{2}} \Rightarrow e_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)$. – Comprobación: $e_1\cdot e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{12}}(1-1+0)=0$ ✓; $e_2\cdot e_2 = \dfrac{1+1+4}{6} = 1$ ✓.

E9 · Mínimos cuadrados (ajuste de recta) (M11)

Recta $y=mx+c$ por $(0,1),(1,2),(2,2)$. $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$, $b=(1,2,2)$. – $A^{T} A=\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$, $A^{T} b=(6,5)$. Ecuaciones normales $\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} m \\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 \\ 5 \end{bmatrix}$, $\det=6$. – $m=\dfrac{6\cdot3-3\cdot5}{6}=\dfrac{3}{6}=0.5$; $c=\dfrac{5\cdot5-3\cdot6}{6}=\dfrac{25-18}{6}=\dfrac{7}{6}\approx1.167$. – Resultado: $y \approx 0.5x + 1.167$. – Comprobación: residuos en $x=0,1,2$: $1-1.167=-0.167$, $2-1.667=0.333$, $2-2.167=-0.167$; suma ≈ 0 (propiedad del ajuste por mínimos cuadrados) ✓.

E10 · Complejos: potencia por polar (De Moivre) (M13)

Calcular $(1+i)^{8}$. – $1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. $(1+i)^{8} = (\sqrt{2})^{8}\,e^{i\cdot8\cdot\pi/4} = 16\,e^{i2\pi} = 16$. – Comprobación: $(1+i)^{2} = 2i$; $((1+i)^{2})^{4} = (2i)^{4} = 16\,i^{4} = 16$ ✓.

📋 Formulario

BD de fórmulas para lookup al calcular. Fórmulas en LaTeX (KaTeX) (se renderizan con KaTeX en la web — regla C10: fracciones con \dfrac, numerador arriba y denominador abajo; nunca en una línea con /). Notación: $A^{T}$ traspuesta, $A^{-1}$ inversa, $\det$ determinante, $\lambda$ autovalor, $\lVert v\rVert$ norma. Vectores en columna por defecto. Referencia (fijada por David 2026-06-16): Strang, Linear Algebra (enfoque geométrico/operativo). Profundidad acordada: repaso operativo (saber hacer; intuición ligera, sin demostraciones largas). Estado: núcleo en construcción; crece. Base directa para circuitos, estructuras y sistemas de EDOs.

1. Matrices y operaciones

$A$ es $m\times n$ ($m$ filas, $n$ columnas). $a_{ij}$ = elemento fila $i$, columna $j$.
Suma (mismo tamaño) y escalar: elemento a elemento. Conmutativa y asociativa.
Producto $A_{(m\times n)}\cdot B_{(n\times p)} = C_{(m\times p)}$: $c_{ij} = \sum_k a_{ik}\,b_{kj}$. No conmutativo ($AB\neq BA$ en general). Asociativo y distributivo. $(AB)C = A(BC)$.
Traspuesta: $(A^{T})_{ij} = a_{ji}$. Propiedades: $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$, $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$, $(A^{T})^{T}=A$.
Traza: $\operatorname{tr}(A) = \sum a_{ii}$ (solo cuadradas). $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$. $\operatorname{tr}(A)=\sum \lambda_i$.
Identidad $I$: $AI=IA=A$. Potencias $A^{k}$. $A^{0}=I$.

2. Tipos de matrices (cuadradas salvo aviso)

Diagonal ($a_{ij}=0$ si $i\neq j$) · triangular sup/inf · simétrica $A=A^{T}$ · antisimétrica $A=-A^{T}$.
Ortogonal: $A^{T} A = I \iff A^{-1}=A^{T}$ (columnas ortonormales; preserva normas y ángulos).
Idempotente $A^{2}=A$ (proyectores) · nilpotente $A^{k}=0$ · invertible/regular ($\det\neq0$).
Compleja: hermítica $A=A^{*}$ (conjugada-traspuesta) · unitaria $A^{*}A=I$.

3. Determinantes (matriz cuadrada)

$2\times2$: $\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad – bc$.
$3\times3$ (regla de Sarrus): $aei + bfg + cdh – ceg – bdi – afh$.
General: desarrollo por cofactores (Laplace) por una fila/columna: $\det A = \sum_j a_{ij}\,C_{ij}$, cofactor $C_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}$ (menor = $\det$ al borrar fila $i$, col $j$).
Propiedades:
$\det(A^{T})=\det A$; $\det(AB)=\det A\cdot\det B$; $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}$; $\det(kA)=k^{n}\det A$ ($n\times n$).
Intercambiar dos filas cambia el signo; fila de ceros $\Rightarrow \det=0$; dos filas proporcionales $\Rightarrow \det=0$.
Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante (clave para Gauss).
Triangular/diagonal: $\det =$ producto de la diagonal. $\det = \prod \lambda_i$ (producto de autovalores).
$A$ invertible $\iff \det A \neq 0$.

4. Inversa

$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I$. Existe $\iff \det A \neq 0$.
$2\times2$: $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
General: $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$, $\operatorname{adj}(A)$ = traspuesta de la matriz de cofactores.
Método práctico (Gauss-Jordan): $[A \mid I] \to [I \mid A^{-1}]$.
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$; $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$; $(A^{-1})^{-1}=A$.

5. Sistemas de ecuaciones lineales $A\,x = b$

Eliminación de Gauss: llevar a forma escalonada por operaciones fila; sustitución regresiva.
Gauss-Jordan: seguir hasta escalonada reducida (pivotes=1, ceros encima y debajo).
Rango $r(A)$ = nº de pivotes = nº de filas no nulas en la escalonada = dim del espacio columna.
Rouché–Frobenius (sistema con $n$ incógnitas):
$r(A) = r(A\mid b) = n \Rightarrow$ solución única (compatible determinado).
$r(A) = r(A\mid b) < n \Rightarrow$ infinitas soluciones (compatible indeterminado; $n – r$ grados de libertad).
$r(A) \neq r(A\mid b) \Rightarrow$ sin solución (incompatible).
Cramer (si $\det A \neq 0$): $x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det A}$, $A_i$ = $A$ con la columna $i$ sustituida por $b$.
Homogéneo $Ax=0$: siempre compatible ($x=0$); solución no trivial $\iff \det A = 0 \iff r(A)<n$.

6. Espacios vectoriales

Espacio vectorial: conjunto cerrado bajo suma y producto por escalar (8 axiomas). Subespacio: subconjunto no vacío cerrado bajo ambas (contiene al 0).
Combinación lineal: $\sum c_i v_i$. Generador (span): todas las combinaciones de un conjunto.
Independencia lineal: $\sum c_i v_i = 0 \Rightarrow$ todos $c_i=0$. (Dependientes si alguno es combinación de otros.)
Base: conjunto independiente que genera. Dimensión = nº de vectores de cualquier base.
Coordenadas: todo vector se escribe de forma única en una base.
Subespacios de una matriz $A$ ($m\times n$):
Espacio columna $\operatorname{Col}(A) \subseteq \mathbb{R}^{m}$, dim $= r(A)$. Espacio fila $\operatorname{Row}(A)$, misma dim $r$.
Núcleo/kernel $\operatorname{Nul}(A)=\{x : Ax=0\} \subseteq \mathbb{R}^{n}$, dim $= n – r$ (nulidad).
Teorema del rango-nulidad: $r(A) + \operatorname{nulidad}(A) = n$ (nº de columnas).

7. Aplicaciones (transformaciones) lineales

$T: V\to W$ lineal si $T(au+bv)=aT(u)+bT(v)$. Toda lineal entre espacios de dim finita = matriz.
Núcleo $\ker T = \{v : T(v)=0\}$; imagen $\operatorname{Im} T$. $\dim\ker + \dim\operatorname{Im} = \dim V$.
$T$ inyectiva $\iff \ker T=\{0\}$; sobre $\iff \operatorname{Im} T=W$. Isomorfismo $\iff$ biyectiva (matriz invertible).
Cambio de base: si $P$ tiene por columnas la nueva base, $[v]_{\text{old}} = P\,[v]_{\text{new}}$; matriz de $T$ en nueva base $B’ = P^{-1} B P$ (matrices semejantes: mismos det, traza, autovalores).

8. Autovalores y autovectores

Definición: $A v = \lambda v$, $v \neq 0$. $v$ autovector, $\lambda$ autovalor.
Polinomio característico: $p(\lambda) = \det(A – \lambda I) = 0$. Sus raíces son los autovalores.
Para cada $\lambda$: autovectores = soluciones no nulas de $(A – \lambda I)v = 0$ (el autoespacio).
Multiplicidades: algebraica (orden de la raíz) $\ge$ geométrica ($\dim$ del autoespacio) $\ge 1$.
Propiedades: $\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A)$; $\prod \lambda_i = \det(A)$. Autovalores de triangular = su diagonal. Simétrica real $\Rightarrow$ autovalores reales y autovectores ortogonales.

9. Diagonalización

$A$ diagonalizable $\iff$ tiene $n$ autovectores independientes $\iff$ geom = alg para todo $\lambda$.
Entonces $A = P D P^{-1}$, con $D$ diagonal de autovalores y $P$ sus autovectores en columnas.
Potencias: $A^{k} = P D^{k} P^{-1}$ ($D^{k}$ = diagonal de $\lambda_i^{k}$). Base del cálculo de $e^{At}$ y dinámica.
Diagonalización ortogonal (espectral): si $A$ simétrica real, $A = Q D Q^{T}$ con $Q$ ortogonal.

10. Producto interior, norma y ortogonalidad

Producto escalar ($\mathbb{R}^{n}$): $u\cdot v = \sum u_i v_i = u^{T} v$. Norma: $\lVert v\rVert = \sqrt{v\cdot v}$.
Ángulo: $\cos\theta = \dfrac{u\cdot v}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert}$. Ortogonales $\iff u\cdot v=0$.
Cauchy–Schwarz: $\lvert u\cdot v\rvert \le \lVert u\rVert\,\lVert v\rVert$. Triangular: $\lVert u+v\rVert \le \lVert u\rVert+\lVert v\rVert$.
Proyección de $u$ sobre $v$: $\operatorname{proj}_v u = \dfrac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v$.
Gram–Schmidt: ortogonaliza una base $\{v_i\}$ → $\{u_i\}$: $u_k = v_k – \sum_{j<k} \operatorname{proj}_{u_j} v_k$.
Mínimos cuadrados ($Ax=b$ sin solución exacta): ecuaciones normales $A^{T} A \hat{x} = A^{T} b$.

11. Números complejos (herramienta transversal — AC, autovalores complejos)

$z = a + bi$, $i^{2} = -1$. Conjugado $\bar{z} = a-bi$; módulo $\lvert z\rvert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$; $z\cdot\bar{z}=\lvert z\rvert^{2}$.
Forma polar: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta}$ (Euler), $r=\lvert z\rvert$, $\theta=\arg z$.
Producto/cociente: módulos se multiplican/dividen, argumentos se suman/restan.
De Moivre: $z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$. Raíces n-ésimas: n soluciones equiespaciadas en el círculo.

Pendiente de ampliar (siguientes entregas)

teoria.md (deducciones), metodos.md (recetas paso a paso), ejercicios-resueltos.md (calibración), formas cuadráticas / SVD / Jordan (avanzado), conexión explícita con circuitos (nodal) y estructuras (rigidez).