⚙️ Mecánica

Fuerzas, movimiento y estructuras: por qué las cosas se sostienen (o no).

Estática

📖 Teoría

El porqué del formulario. Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston.

1. Qué estudia la estática

La estática analiza cuerpos en reposo o a velocidad constante: la resultante de fuerzas y de
momentos es cero. Todo se reduce a una idea: equilibrio. La habilidad central no es memorizar
fórmulas sino aislar el cuerpo correcto y dibujar bien su diagrama de sólido libre (DSL): si las
fuerzas del DSL están mal, todo lo demás falla.

2. Fuerzas y momentos como vectores

Una fuerza tiene módulo, dirección y punto de aplicación. Para combinar fuerzas se trabaja con
componentes (proyecciones sobre ejes). El momento captura el efecto de giro: depende de la
fuerza y del brazo perpendicular ($M=F\,d$), o en general del producto vectorial $\vec{r}\times\vec{F}$. El producto
escalar sirve para proyectar y hallar ángulos; el vectorial, para momentos y perpendicularidad. Tener
clara esta caja de herramientas vectorial es la mitad de la asignatura.

3. Equilibrio: las ecuaciones que lo resuelven todo

Un sólido rígido en equilibrio cumple $\sum F=0$ y $\sum M=0$. En 2D son 3 ecuaciones; en 3D, 6. Si el número
de incógnitas (reacciones, fuerzas internas) iguala al de ecuaciones disponibles, el problema es
isostático y se resuelve solo con estática. Si hay más incógnitas que ecuaciones, es
hiperestático y hace falta información extra de deformaciones (eso ya es Resistencia/Estructuras).
Saber contar incógnitas vs. ecuaciones es lo primero que hay que hacer.

4. Apoyos: qué reacciones introduce cada uno

Cada tipo de apoyo restringe ciertos movimientos y, por la 3ª ley de Newton, introduce las reacciones
correspondientes: un rodillo solo empuja perpendicular (1 reacción), un pasador resiste en dos
direcciones (2), un empotramiento además impide girar (3, incluido un momento). Modelar bien los apoyos
es traducir la realidad física a fuerzas en el DSL.

5. Armaduras: estructuras de barras

Una armadura idealiza una estructura como barras articuladas que solo trabajan a tracción o compresión
(barras de dos fuerzas). El método de los nudos aplica equilibrio a cada nudo (2 ecuaciones); el
método de las secciones corta la estructura para llegar directo a una barra concreta. Reconocer las
barras de fuerza cero simplifica mucho antes de calcular. La relación $m+r=2n$ dice si la armadura
está bien planteada (isostática), es un mecanismo (inestable) o es hiperestática.

6. Rozamiento: la fuerza que se adapta

El rozamiento estático no es un valor fijo, sino el que haga falta para impedir el movimiento, hasta
un máximo $\mu_s N$. Justo en el deslizamiento inminente alcanza ese tope; una vez en movimiento, pasa al
cinético $\mu_k N$ (menor). Este matiz —»adaptativo hasta el límite»— es la fuente de errores típica.
La fórmula de la correa ($\dfrac{T_1}{T_2}=e^{\mu\beta}$) muestra cómo el rozamiento se amplifica con el ángulo de
contacto (por qué un cabo da varias vueltas a un noray).

7. Centroides e inercia: preparando la resistencia

El centroide es el punto donde se concentra el área/peso a efectos de momentos; se calcula por
descomposición en figuras simples. El momento de inercia de área mide cómo se distribuye el área
respecto a un eje y es lo que gobierna la rigidez a flexión (sale en la fórmula $\sigma=\dfrac{My}{I}$ de
Resistencia). El teorema de Steiner permite trasladar inercias a ejes paralelos. Por eso la
estática «termina» preparando los datos geométricos que necesita el cálculo de tensiones.

🧭 Métodos

Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston. Unidades SI.

M0. Protocolo general (equilibrio)

Aísla el cuerpo y dibuja el DSL: cargas aplicadas + reacciones de cada apoyo + peso si procede.
Elige ejes. 3. Escribe $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum M=0$ (2D). Toma momentos en el punto que elimine más
incógnitas. 4. Resuelve el sistema. 5. Comprueba con una 4ª ecuación de momento en otro punto.

M1. Resultante de un sistema de fuerzas

Descompón cada fuerza en componentes. 2. $R_x=\sum F_x$, $R_y=\sum F_y$; $R=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}$, $\theta=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$.
Posición de la resultante: por Varignon, $R\,d=\sum M_O$.

M2. Reacciones en apoyos (viga/estructura isostática)

Cuenta reacciones (rodillo 1, pasador 2, empotramiento 3) y verifica isostatismo.
DSL. 3. $\sum M=0$ en un apoyo para hallar la reacción del otro; luego $\sum F_x$, $\sum F_y$.
Cargas distribuidas: sustituye por su resultante (área del diagrama) en su centroide.

M3. Armadura — método de los nudos

Halla reacciones externas (M2). 2. Identifica barras de fuerza cero.
Empieza por un nudo con ≤2 incógnitas; aplica $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$. 4. Avanza nudo a nudo.
Convenio: supón tracción (+); si sale negativo, es compresión.

M4. Armadura — método de las secciones

Halla reacciones. 2. Corta por 3 barras como máximo (incluida la buscada), separa una parte.
Aplica a esa parte $\sum M=0$ (en el nudo que elimine 2 de las 3 fuerzas) para despejar la barra deseada;
usa $\sum F$ para las otras.

M5. Problemas de rozamiento

DSL con la fuerza de rozamiento en sentido opuesto al movimiento inminente.
¿Equilibrio o deslizamiento? Si preguntan el límite, usa $F=\mu_s N$; si ya desliza, $F=\mu_k N$.
Plantea equilibrio y resuelve. Verifica que $F_s\le\mu_s N$ si supusiste reposo (si no, sí desliza).

M6. Centroide de una figura compuesta

Divide en figuras simples (con centroide conocido). 2. Tabula $A_i$, $\bar{x}_i$, $\bar{y}_i$ (huecos con A negativa).
$\bar{x}=\dfrac{\sum (\bar{x}_i A_i)}{\sum A_i}$, $\bar{y}=\dfrac{\sum (\bar{y}_i A_i)}{\sum A_i}$.

M7. Momento de inercia de área

Divide en rectángulos/círculos. 2. Inercia propia de cada uno respecto a SU centroide
($\dfrac{bh^{3}}{12}$, $\dfrac{\pi R^{4}}{4}$). 3. Steiner: $I=\sum (I_{ci} + A_i\,d_i^{2})$ respecto al eje común (d=distancia al
centroide global). 4. Para huecos, resta.

Comprobación final

Unidades (N, N·m). Sanity: reacciones con sentido físico, $\sum M$ en un 2º punto debe cerrar,
tracción/compresión coherentes con la geometría de carga. Si no cuadra, se revisa.

✍️ Ejercicios resueltos

Calibración. fórmula/método → desarrollo → resultado → comprobación. Unidades SI. $g=9.81\ \text{m/s}^2$.
Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston.

E1 · Resultante de dos fuerzas perpendiculares (M1)

$F_1=100\ \text{N}$ (eje x), $F_2=100\ \text{N}$ (eje y).
– $R=\sqrt{100^{2}+100^{2}}=141.4\ \text{N}$; $\theta=\arctan\!\left(\dfrac{100}{100}\right)=45^\circ$.
– Resultado: $R\approx141.4\ \text{N}$ a 45^\circ.
– Comprobación: componentes $R_x=R_y=100$ ✓.

E2 · Reacciones de viga biapoyada (carga puntual) (M2)

Viga $L=6\ \text{m}$, carga $P=12\ \text{kN}$ a $2\ \text{m}$ de A.
– $\sum M_A=0:\ R_B\cdot 6 = 12\cdot 2 \to R_B=4\ \text{kN}$. $\sum F_y=0:\ R_A=12-4=8\ \text{kN}$.
– Resultado: $R_A=8\ \text{kN}$, $R_B=4\ \text{kN}$.
– Comprobación: $\sum M_B:\ R_A\cdot 6 – 12\cdot 4 = 48-48=0$ ✓.

E3 · Carga distribuida uniforme (M2)

UDL $w=5\ \text{kN/m}$ sobre viga biapoyada $L=4\ \text{m}$.
– Resultante $W=w\,L=20\ \text{kN}$ en el centro (2 m). Por simetría $R_A=R_B=\dfrac{W}{2}$.
– Resultado: $R_A=R_B=10\ \text{kN}$.
– Comprobación: $\sum F_y=10+10-20=0$ ✓.

E4 · Armadura — método de los nudos (M3)

Nudo A: barra horizontal AB y diagonal AC a 30^\circ; carga vertical $5\ \text{kN}$ hacia abajo en A.
– $\sum F_y:\ F_{AC}\sin 30^\circ – 5 = 0 \to F_{AC}=10\ \text{kN}$ (tracción).
– $\sum F_x:\ F_{AB} + F_{AC}\cos 30^\circ = 0 \to F_{AB}=-8.66\ \text{kN}$ (compresión).
– Resultado: $F_{AC}=10\ \text{kN}$ (T), $F_{AB}=8.66\ \text{kN}$ (C).
– Comprobación: signo negativo ⇒ compresión, coherente con geometría ✓.

E5 · Rozamiento en plano inclinado (M5)

Bloque $m=10\ \text{kg}$, $\theta=20^\circ$, $\mu_s=0.3$. ¿Desliza?
– Componente motriz $mg\sin\theta=98.1\cdot 0.342=33.6\ \text{N}$. Rozamiento máximo $\mu_s\,mg\cos\theta=0.3\cdot 98.1\cdot 0.940=27.7\ \text{N}$.
– Resultado: $33.6>27.7$ ⇒ sí desliza.
– Comprobación: $\tan\theta=0.364>\mu_s=0.3$, mismo criterio ✓.

E6 · Rozamiento de correa (M5)

$\dfrac{T_1}{T_2}=e^{\mu\beta}$, $\mu=0.25$, $\beta=\pi$ (180°), $T_2=500\ \text{N}$.
– $T_1=500\cdot e^{0.25\pi}=500\cdot e^{0.785}=500\cdot 2.193$.
– Resultado: $T_1\approx1097\ \text{N}$.
– Comprobación: $T_1>T_2$ (la tensión crece con el contacto) ✓.

E7 · Centroide de figura compuesta (M6)

Rect.1 $4\times 2$ (centroide $(2,1)$, $A=8$); Rect.2 $2\times 2$ encima (centroide $(1,3)$, $A=4$).
– $\bar{x}=\dfrac{2\cdot 8+1\cdot 4}{12}=\dfrac{20}{12}$; $\bar{y}=\dfrac{1\cdot 8+3\cdot 4}{12}=\dfrac{20}{12}$.
– Resultado: $(\bar{x},\bar{y})\approx(1.67,\ 1.67)$.
– Comprobación: dentro del contorno de la pieza ✓.

E8 · Momento de inercia con Steiner (M7)

Rectángulo $b=0.1\ \text{m}$, $h=0.2\ \text{m}$. Inercia respecto a la base.
– Propia $I_c=\dfrac{bh^{3}}{12}=\dfrac{0.1\cdot 0.2^{3}}{12}=6.67\times 10^{-5}\ \text{m}^4$. $A=0.02$, $d=\dfrac{h}{2}=0.1$.
– $I_{base}=I_c+A\,d^{2}=6.67\times 10^{-5}+0.02\cdot 0.01=6.67\times 10^{-5}+2.0\times 10^{-4}$.
– Resultado: $I_{base}\approx2.67\times 10^{-4}\ \text{m}^4$.
– Comprobación: $I_{base}>I_c$ (eje más alejado) ✓.

E9 · Momento de una fuerza (M0)

Fuerza $F=50\ \text{N}$ perpendicular al extremo de una llave de $0.3\ \text{m}$.
– $M=F\,d=50\cdot 0.3$.
– Resultado: $M=15\ \text{N·m}$.
– Comprobación: unidades N·m ✓.

E10 · Empotramiento (voladizo) (M2)

Voladizo con carga puntual $8\ \text{kN}$ a $3\ \text{m}$ del muro.
– $\sum F_y:\ R_y=8\ \text{kN}$. $\sum M_{muro}:\ M=8\cdot 3=24\ \text{kN·m}$.
– Resultado: $R_y=8\ \text{kN}$, $M_{empotramiento}=24\ \text{kN·m}$.
– Comprobación: el empotramiento aporta fuerza y momento (3 reacciones en 2D) ✓.

📋 Formulario

Unidades SI (N, m, N·m). Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston.

1. Vectores fuerza

Componentes: $F_x=F\cos\theta$, $F_y=F\sin\theta$. Módulo $F=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}$; dirección $\theta=\operatorname{atan2}(F_y,F_x)$.
Vector unitario $\vec{u}=\dfrac{\vec{F}}{\lvert\vec{F}\rvert}$. Fuerza a lo largo de A→B: $\vec{F}=F\,\dfrac{\vec{r}_{AB}}{\lvert\vec{r}_{AB}\rvert}$.
Producto escalar: $\vec{A}\cdot\vec{B}=\lvert\vec{A}\rvert\,\lvert\vec{B}\rvert\cos\theta=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$ (proyecciones, ángulos).
Producto vectorial: $\vec{A}\times\vec{B}$ ⟂ a ambos, $\lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert=\lvert\vec{A}\rvert\,\lvert\vec{B}\rvert\sin\theta$ (momentos).

2. Momento de una fuerza

Momento respecto a un punto O: $\vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F}$ (3D); en 2D $M_O = F\,d$ (d=brazo perpendicular).
Signo 2D: antihorario +.
Par (cupla): dos fuerzas iguales y opuestas; $M=F\,d$, libre (igual respecto a cualquier punto).
Teorema de Varignon: el momento de la resultante = suma de momentos de las componentes.

3. Equilibrio del sólido rígido

2D: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum M_O=0$ (3 ecuaciones → 3 incógnitas).
3D: $\sum F_x=\sum F_y=\sum F_z=0$, $\sum M_x=\sum M_y=\sum M_z=0$ (6 ecuaciones).
Diagrama de sólido libre (DSL): aislar el cuerpo y dibujar TODAS las fuerzas/momentos externos.

4. Apoyos y reacciones (2D)

Apoyo	Reacciones
Rodillo / superficie lisa	1 (normal)
Pasador / articulación	2 ($R_x$, $R_y$)
Empotramiento	3 ($R_x$, $R_y$, $M$)
– Determinación estática (2D): $r = 3$ reacciones → isostático si las ecuaciones bastan; $r>3$ ⇒
hiperestático (necesita compatibilidad, ver Resistencia/Estructuras).

5. Armaduras (cerchas)

Hipótesis: barras de dos fuerzas (solo tracción/compresión), cargas en nudos, pasadores ideales.
Método de los nudos: en cada nudo $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ (2 ec./nudo). Empezar por un nudo con ≤2 incógnitas.
Método de las secciones: cortar la armadura; aplicar $\sum F$ y $\sum M$ a una parte (útil para una barra concreta).
Barras de fuerza cero: nudo con 2 barras no colineales sin carga → ambas 0; nudo con 3 barras (2
colineales) sin carga → la tercera 0.
Estabilidad/determinación armadura plana: $m + r = 2n$ (m=barras, r=reacciones, n=nudos).

6. Rozamiento seco (Coulomb)

Estático: $F_s \le \mu_s N$ (máximo en el deslizamiento inminente $F_{s,\max}=\mu_s N$).
Cinético: $F_k = \mu_k N$ ($\mu_k<\mu_s$). Ángulo de rozamiento $\tan\varphi=\mu$.
Cuña, tornillo, correa: correa/banda $\dfrac{T_1}{T_2} = e^{\mu\beta}$ (β=ángulo de contacto en rad).

7. Centroides y centros de gravedad

Centroide compuesto: $\bar{x} = \dfrac{\sum (\bar{x}_i A_i)}{\sum A_i}$ (análogo y, y para volúmenes/masas).
Centroides clave: rectángulo (centro); triángulo (a 1/3 de la base); semicírculo ($\dfrac{4R}{3\pi}$ del diámetro).

8. Momentos de inercia de área (para flexión)

$I_x=\displaystyle\int y^{2}\,dA$, $I_y=\displaystyle\int x^{2}\,dA$. Teorema de Steiner (ejes paralelos): $I = I_c + A\,d^{2}$.
Rectángulo (base b, altura h) respecto a su centroide: $I_x=\dfrac{b\,h^{3}}{12}$. Círculo: $I=\dfrac{\pi R^{4}}{4}$.
Polar $J=I_x+I_y$ (para torsión, ver Resistencia).

Pendiente de ampliar

Sistemas de fuerzas 3D detallados · estructuras con rótulas · cables. Conecta con Resistencia de materiales y Cálculo de estructuras.

Dinámica

📖 Teoría

El porqué del formulario. Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston.

1. Tres caminos para el mismo problema

La dinámica relaciona fuerzas con movimiento, y casi siempre se puede atacar por tres vías
equivalentes; elegir la buena ahorra mucho trabajo:
– Fuerza–aceleración ($\sum F=ma$): cuando piden aceleraciones o fuerzas en un instante.
– Trabajo–energía ($W=\Delta T$): cuando relacionan velocidades con posiciones/distancias (sin tiempo).
– Impulso–momento ($\int F\,dt=\Delta p$): cuando intervienen tiempos o choques.
La destreza operativa nº1 es reconocer cuál de los tres es el atajo según qué datos e incógnitas hay.

2. Newton: la base

$\sum F=ma$ es el corazón. En trayectorias curvas conviene el sistema normal-tangencial: la componente
tangencial cambia la rapidez ($a_t$) y la normal cambia la dirección ($a_n=\dfrac{v^{2}}{\rho}$, siempre hacia el
centro). La aceleración normal es la que explica por qué una curva exige fuerza centrípeta (y por qué
derrapas si el rozamiento no la da).

3. Energía: cuando el tiempo no importa

El teorema trabajo-energía convierte un problema dinámico en uno escalar: el trabajo neto iguala el
cambio de energía cinética. Si las fuerzas son conservativas (gravedad, resortes), la energía
mecánica se conserva y basta comparar estados inicial y final, sin integrar el movimiento. El
rozamiento «roba» energía mecánica (la pasa a calor), y entra como término de pérdida. Es el método más
rápido para hallar velocidades a partir de alturas o deformaciones.

4. Impulso y momento: choques y tiempos

La cantidad de movimiento $p=mv$ se conserva cuando no hay fuerzas externas netas; por eso es la
herramienta de los choques y las explosiones, donde las fuerzas internas son enormes pero breves.
El coeficiente de restitución $e$ parametriza cuánta energía sobrevive al impacto: $e=1$ elástico
(rebote perfecto), $e=0$ plástico (los cuerpos quedan pegados). Distinguir «se conserva el momento» (casi
siempre) de «se conserva la energía» (solo si $e=1$) es clave.

5. Rotación: el paralelo perfecto de la traslación

Toda la dinámica de traslación tiene su gemela rotacional: la masa $m$ ↔ momento de inercia $I$, la
fuerza $F$ ↔ momento $M$, $a$↔$\alpha$, $p$ ↔ momento angular $H$. Así $\sum M_G=I_G\,\alpha$ es la «2ª ley rotacional».
El momento de inercia de masa mide la resistencia a cambiar el giro y depende de cómo se reparte la
masa (lejos del eje pesa más): por eso un aro gira peor que un disco de igual masa. En rodadura sin
deslizar, $v=\omega R$ enlaza ambos mundos, y la energía cinética suma traslación más rotación.

6. Vibraciones: el oscilador

Un sistema masa-resorte devuelve siempre la misma ecuación $mx»+kx=0$, cuya solución oscila con
frecuencia natural $\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$. Añadir amortiguamiento ($c$) introduce el factor $\zeta$ que decide el
régimen (oscila y decae, o vuelve sin oscilar). Es el puente con circuitos RLC (misma ecuación) y con la
dinámica estructural (modos y resonancia) — por eso conviene verlo aquí.

🧭 Métodos

Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston. Unidades SI.

M0. Elegir el método (decisión clave)

¿Piden fuerza o aceleración en un instante? → Newton $\sum F=ma$ (M1).
¿Relacionan velocidad con posición/distancia, sin tiempo? → trabajo-energía (M2).
¿Aparecen tiempos o choques? → impulso-momento (M3).

M1. Newton (partícula)

DSL de la partícula (todas las fuerzas). 2. Elige ejes (x-y o normal-tangencial si hay curva).
$\sum F=ma$ por componentes. 4. Acopla con cinemática si hace falta. 5. Resuelve.
(Curva: $\sum F_n=\dfrac{m v^{2}}{\rho}$, $\sum F_t=m\dfrac{dv}{dt}$.)

M2. Trabajo y energía

Identifica estados 1 y 2. 2. $\dfrac{1}{2}m v_1^{2} + V_1 + W_{\text{no conservativo}} = \dfrac{1}{2}m v_2^{2} + V_2$.
Incluye $V_g=mgy$, $V_e=\dfrac{1}{2}kx^{2}$; rozamiento como $-\lvert \mu N\,d\rvert$. 4. Despeja $v$ o la distancia.
Potencia si la piden: $P=F\,v$ o $P=M\omega$.

M3. Impulso y cantidad de movimiento / choques

Sistema y dirección de análisis. 2. Conservación $\sum m v$ (antes) $= \sum m v$ (después) si no hay
fuerza externa neta. 3. Si hay choque, añade $e=\dfrac{v’_2-v’_1}{v_1-v_2}$. 4. Resuelve el sistema de 2 ec.
Comprueba energía: en plástico ($e=0$) se pierde T; en elástico ($e=1$) se conserva.

M4. Rotación de sólido rígido (plano)

DSL + diagrama cinético ($m a_G$ y $I_G \alpha$). 2. $\sum F_x=m a_{Gx}$, $\sum F_y=m a_{Gy}$, $\sum M_G=I_G \alpha$.
Rodadura sin deslizar: $a_G=\alpha R$ (y verifica $F_{roz}\le\mu N$). 4. Energía: $\dfrac{1}{2}m v_G^{2}+\dfrac{1}{2}I_G \omega^{2}$.
Usa $I$ de tablas + Steiner si el eje no pasa por G.

M5. Vibración libre

Plantea $m x» + k x = 0$ (o con $c$). 2. $\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$, $T=\dfrac{2\pi}{\omega_n}$, $f=\dfrac{1}{T}$.
Con amortiguamiento: $\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{km}}$ → clasifica el régimen. 4. Aplica condiciones iniciales.

Comprobación final

Unidades (N, J, W, kg·m^2). Sanity: energía no aumenta sola, momento se conserva en choques,
$a_n$ apunta al centro, velocidades con signo coherente. Si no cuadra, se revisa.

✍️ Ejercicios resueltos

Calibración. fórmula/método → desarrollo → resultado → comprobación. Unidades SI. $g=9.81\ \text{m/s}^2$.
Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston.

E1 · Newton sin rozamiento (M1)

$m=5\ \text{kg}$, $F=20\ \text{N}$ horizontal, sin fricción.
– $a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{20}{5}$.
– Resultado: $a=4\ \text{m/s}^2$.
– Comprobación: unidades $\text{N/kg}=\text{m/s}^2$ ✓.

E2 · Newton con rozamiento (M1)

$m=10\ \text{kg}$, $F=50\ \text{N}$ horizontal, $\mu_k=0.2$.
– $a=\dfrac{F-\mu_k mg}{m}=\dfrac{50-0.2\cdot 10\cdot 9.81}{10}=\dfrac{50-19.62}{10}$.
– Resultado: $a\approx3.04\ \text{m/s}^2$.
– Comprobación: $F>\mu mg$ ⇒ se mueve, $a>0$ ✓.

E3 · Trabajo-energía (M2)

$m=20\ \text{kg}$ parte del reposo, $F=100\ \text{N}$ a lo largo de $d=5\ \text{m}$, sin fricción.
– $W=F\,d=500\ \text{J}=\dfrac{1}{2}m v^{2} \to v=\sqrt{\dfrac{2W}{m}}=\sqrt{\dfrac{1000}{20}}=\sqrt{50}$.
– Resultado: $v\approx7.07\ \text{m/s}$.
– Comprobación: $\dfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 7.07^{2}\approx500\ \text{J}$ ✓.

E4 · Conservación de energía (caída) (M2)

Cuerpo cae desde $h=2\ \text{m}$ (desde reposo).
– $mgh=\dfrac{1}{2}m v^{2} \to v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9.81\cdot 2}$.
– Resultado: $v\approx6.26\ \text{m/s}$.
– Comprobación: independiente de $m$ ✓.

E5 · Resorte que lanza una masa (M2)

$k=200\ \text{N/m}$, comprimido $x=0.1\ \text{m}$, $m=0.5\ \text{kg}$.
– $\dfrac{1}{2}k x^{2}=\dfrac{1}{2}m v^{2} \to v=\sqrt{\dfrac{k x^{2}}{m}}=\sqrt{\dfrac{200\cdot 0.01}{0.5}}=\sqrt{4}$.
– Resultado: $v=2\ \text{m/s}$.
– Comprobación: energía elástica $1\ \text{J} = \dfrac{1}{2}\cdot 0.5\cdot 2^{2}$ ✓.

E6 · Impulso-cantidad de movimiento (M3)

$F=10\ \text{N}$ durante $t=3\ \text{s}$ sobre $m=2\ \text{kg}$ (desde reposo).
– $F\,t=\Delta p=m v \to v=\dfrac{F t}{m}=\dfrac{30}{2}$.
– Resultado: $v=15\ \text{m/s}$.
– Comprobación: $\Delta p=30\ \text{N·s}=2\cdot 15$ ✓.

E7 · Choque perfectamente plástico (M3)

$m_1=2\ \text{kg}$ a $3\ \text{m/s}$ impacta $m_2=1\ \text{kg}$ en reposo y quedan unidos.
– $v’=\dfrac{m_1 v_1}{m_1+m_2}=\dfrac{6}{3}$.
– Resultado: $v’=2\ \text{m/s}$.
– Comprobación: se pierde T (de 9 J a 6 J), coherente con $e=0$ ✓.

E8 · Choque elástico (M3)

$m_1=2\ \text{kg}$ a $3\ \text{m/s}$, $m_2=1\ \text{kg}$ en reposo, $e=1$.
– $v_1’=\dfrac{(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2}=\dfrac{3}{3}=1$; $v_2’=\dfrac{2m_1 v_1}{m_1+m_2}=\dfrac{12}{3}=4$.
– Resultado: $v_1’=1\ \text{m/s}$, $v_2’=4\ \text{m/s}$.
– Comprobación: $e=\dfrac{v_2′-v_1′}{v_1-v_2}=\dfrac{4-1}{3}=1$ ✓ y T se conserva ($9\ \text{J}=1+8$) ✓.

E9 · Dinámica de rotación (M4)

Disco $m=4\ \text{kg}$, $R=0.5\ \text{m}$, par $M=10\ \text{N·m}$.
– $I=\dfrac{1}{2}mR^{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 0.25=0.5\ \text{kg·m}^2$. $\alpha=\dfrac{M}{I}=\dfrac{10}{0.5}$.
– Resultado: $\alpha=20\ \text{rad/s}^2$.
– Comprobación: unidades $\dfrac{\text{N·m}}{\text{kg·m}^2}=\text{rad/s}^2$ ✓.

E10 · Frecuencia natural (masa-resorte) (M5)

$m=2\ \text{kg}$, $k=800\ \text{N/m}$.
– $\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{400}=20\ \text{rad/s}$; $f=\dfrac{\omega_n}{2\pi}\approx3.18\ \text{Hz}$; $T=\dfrac{1}{f}\approx0.314\ \text{s}$.
– Resultado: $\omega_n=20\ \text{rad/s}$, $f\approx3.18\ \text{Hz}$.
– Comprobación: $T=\dfrac{2\pi}{\omega_n}=0.314\ \text{s}$ ✓.

📋 Formulario

Unidades SI (N, kg, m, s, J, W). Fuentes: Hibbeler; Beer & Johnston. La cinemática describe el movimiento; la dinámica, sus causas.

1. Leyes de Newton (partícula)

1ª (inercia): sin fuerza neta, $v=\text{cte}$. 2ª: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$. 3ª: acción–reacción.
Componentes: $\sum F_x=m\,a_x$, $\sum F_y=m\,a_y$ (y $z$). Coords. normal-tangencial (trayectoria curva):
$\sum F_t=m\,a_t$ ($a_t=\dfrac{dv}{dt}$), $\sum F_n=m\,a_n$ ($a_n=\dfrac{v^{2}}{\rho}$, hacia el centro; ρ=radio de curvatura).
Peso $W=mg$; fuerza elástica $F=k\,x$; rozamiento $F=\mu N$.

2. Trabajo y energía

Trabajo: $W = \displaystyle\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$ ; fuerza constante $W=F\,d\cos\theta$. Resorte $W=\dfrac{1}{2}k(x_1^{2}-x_2^{2})$.
Energía cinética: $T=\dfrac{1}{2}m\,v^{2}$. Teorema trabajo-energía: $W_{neto} = \Delta T = \dfrac{1}{2}m v_2^{2} – \dfrac{1}{2}m v_1^{2}$.
Energía potencial: gravitatoria $V_g=mgy$; elástica $V_e=\dfrac{1}{2}k x^{2}$.
Conservación (fuerzas conservativas): $T_1+V_1 = T_2+V_2$. Con rozamiento: $T_1+V_1 = T_2+V_2 + \lvert W_{roz}\rvert$.
Potencia: $P=\dfrac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot\vec{v}$ [W]. Rendimiento $\eta=\dfrac{P_{salida}}{P_{entrada}}$.

3. Impulso y cantidad de movimiento

Cantidad de movimiento (momento lineal): $\vec{p}=m\vec{v}$.
Impulso: $\displaystyle\int \vec{F}\,dt = \Delta \vec{p} = m\vec{v}_2 – m\vec{v}_1$.
Conservación (sistema sin fuerzas externas netas): $\sum m_i v_i = \text{cte}$.
Choques (coef. de restitución $e$): $e = \dfrac{v’_2-v’_1}{v_1-v_2}$ (velocidades de aproximación/separación,
línea de impacto). $e=1$ elástico (T se conserva), $e=0$ perfectamente plástico (quedan juntos).

4. Dinámica de rotación (sólido rígido)

Momento de inercia de masa: $I=\displaystyle\int r^{2}\,dm$. Steiner $I=I_G+m\,d^{2}$.
Barra (centro) $I=\dfrac{mL^{2}}{12}$; disco/cilindro $I=\dfrac{1}{2}mR^{2}$; esfera maciza $I=\dfrac{2}{5}mR^{2}$; aro $I=mR^{2}$.
2ª ley para rotación: $\sum M_G = I_G\,\alpha$ (α=aceleración angular). Plano general:
$\sum F=m\,a_G$ y $\sum M_G=I_G\,\alpha$.
Energía cinética: traslación $\dfrac{1}{2}m v_G^{2}$ + rotación $\dfrac{1}{2} I_G \omega^{2}$. Rodadura sin deslizar $v_G=\omega R$.
Trabajo de un par: $W=M\theta$. Potencia rotacional: $P=M\omega$.
Momento angular: $H_G=I_G\,\omega$; impulso angular $\displaystyle\int M\,dt = \Delta H$. Conservación si $\sum M=0$.

5. Vibraciones (introducción)

MAS sin amortiguar $m x» + k x = 0$: $\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$, $T=\dfrac{2\pi}{\omega_n}$, $f=\dfrac{1}{T}$.
Con amortiguamiento $m x» + c x’ + k x = 0$: factor $\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{km}}$; sub/críticamente/sobreamortiguado.

Pendiente de ampliar

Dinámica 3D, giróscopos · sistemas de partículas · vibraciones forzadas/resonancia.

Cinemática

📖 Teoría

El porqué del formulario. Fuentes: Hibbeler; Norton.

1. Describir el movimiento, no explicarlo

La cinemática responde a cómo se mueve algo (posición, velocidad, aceleración) sin preguntarse por
qué (eso es la dinámica). Todo nace de dos derivadas: $v=\dfrac{dx}{dt}$ y $a=\dfrac{dv}{dt}$. La relación $a=v\,\dfrac{dv}{dx}$
es el truco operativo más útil porque elimina el tiempo, ideal cuando relacionan velocidad con
posición. El cálculo (derivadas e integrales) es literalmente la herramienta: por eso esta materia se
apoya directamente en el Bloque 0.

2. Aceleración constante y gráficas

Cuando $a$ es constante salen las tres ecuaciones clásicas (la caída libre es el caso $a=g$). Las
gráficas x-t, v-t, a-t son una forma poderosa de razonar sin fórmulas: pendientes son derivadas,
áreas son integrales. Saber leerlas resuelve muchos problemas de un vistazo.

3. Proyectiles: dos movimientos independientes

Un proyectil combina movimiento uniforme en horizontal y uniformemente acelerado en vertical,
y la clave es que son independientes y comparten solo el tiempo. Descomponer la velocidad inicial y
tratar cada eje por separado resuelve alcance, altura y tiempo de vuelo sin misterio.

4. Trayectorias curvas: tangencial y normal

En una curva, la aceleración tiene dos efectos distintos: la tangencial cambia la rapidez y la
normal ($\dfrac{v^{2}}{\rho}$) cambia la dirección, apuntando siempre al centro de curvatura. Esta separación es
la base física de por qué tomar una curva rápido exige más agarre (la normal crece con $v^{2}$). Las
coordenadas polares añaden el término de Coriolis cuando el radio también cambia.

5. Movimiento relativo: elegir el observador

Medir el movimiento de B respecto a A ($\vec v_B=\vec v_A+\vec v_{B/A}$) es cambiar de sistema de referencia. Es
imprescindible para barcos en corriente, aviones con viento o piezas que se mueven unas respecto a
otras. La suma vectorial es todo el método.

6. Sólido rígido: rotación y movimiento plano general

Un sólido rígido que gira tiene su propia cinemática ($\theta,\omega,\alpha$) idéntica en forma a la rectilínea.
El caso potente es el movimiento plano general (traslación + rotación a la vez), como una rueda o
una biela: se resuelve con las ecuaciones de velocidad y aceleración relativas entre dos puntos del
mismo cuerpo, o con el centro instantáneo de rotación (CIR) —el punto que en ese instante está
quieto, alrededor del cual todo el cuerpo parece girar—. En rodadura sin deslizar, el CIR es el punto
de contacto con el suelo: por eso $v_\text{centro}=\omega R$. Reconocer el CIR simplifica enormemente.

7. Mecanismos: la cinemática aplicada

Un mecanismo (biela-manivela, cuadrilátero, leva) es cinemática de varios sólidos enlazados. Primero se
cuentan los grados de libertad (Grübler) para saber cómo se mueve, y luego se analiza velocidad y
aceleración de cada eslabón con §6. Es la base del diseño de máquinas (Bloque que conecta con la
ingeniería mecánica real).

🧭 Métodos

Fuentes: Hibbeler; Norton. Unidades SI.

M0. Protocolo general

Define origen y sentido positivo. 2. Identifica el tipo de movimiento (rectilíneo, proyectil,
curvo, rotación, plano general). 3. Lista lo conocido ($x,v,a$ o $\theta,\omega,\alpha$). 4. Elige la ecuación que
relacione lo dado con lo buscado. 5. Resuelve y comprueba (signos, unidades, sentido físico).

M1. Rectilíneo con a constante

Elige entre $v=v_0+at$, $x=x_0+v_0 t+\dfrac12 a t^{2}$, $v^{2}=v_0^{2}+2a(x-x_0)$ según qué variable falte.
Si $a$ varía: integra ($v=\int a\,dt$, $x=\int v\,dt$) o usa $a=v\,\dfrac{dv}{dx}$.
Frenadas/caídas: cuida el signo de $a$.

M2. Proyectil

Descompón $v_{0x}=v_0\cos\theta$, $v_{0y}=v_0\sin\theta$. 2. Horizontal: $x=v_{0x}\,t$ (uniforme).
Vertical: $y=y_0+v_{0y}t-\dfrac12 g t^{2}$ (acelerado). 4. Une ambos por el tiempo común.
Casos rápidos: $R=\dfrac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}$, $H=\dfrac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$.

M3. Movimiento curvilíneo (n-t)

Halla $v$ (rapidez) y $\rho$ (radio de curvatura). 2. $a_t=\dfrac{dv}{dt}$, $a_n=\dfrac{v^{2}}{\rho}$.
$a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}$. (En polares usa $v_r,v_\theta,a_r,a_\theta$.)

M4. Movimiento relativo (traslación)

Escribe la ecuación vectorial $\vec v_B=\vec v_A+\vec v_{B/A}$ (o con r, o con a).
Dibuja el triángulo de vectores. 3. Resuelve por componentes o trigonometría.

M5. Rotación de eje fijo

Análogo a M1 con $\theta,\omega,\alpha$. 2. Para un punto: $v=\omega r$, $a_t=\alpha r$, $a_n=\omega^{2}r$.

M6. Movimiento plano general (cuerpo rígido)

Elige dos puntos A (conocido) y B (buscado) del mismo cuerpo.
Velocidades: $\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}$ (el término $\vec\omega\times\vec r$ es $\perp$ a $\vec r_{B/A}$, módulo $\omega r$).
Aceleraciones: $\vec a_B=\vec a_A+\vec\alpha\times\vec r_{B/A}-\omega^{2}\vec r_{B/A}$. 4. Resuelve por componentes.
– Alternativa CIR: localiza el centro instantáneo (intersección de perpendiculares a dos
velocidades conocidas); entonces $v=\omega\,d$ para cualquier punto. Rodadura: CIR en el contacto.

M7. Mecanismo (biela-manivela / cuadrilátero)

Grados de libertad con Grübler. 2. Plantea posición (lazo vectorial cerrado) y deriva para v y a,
o aplica M6/CIR eslabón a eslabón empezando por el de movimiento conocido (manivela).

Comprobación final

Unidades (m/s, m/s², rad/s). Sanity: $a_n$ hacia el centro, tiempos positivos, en rodadura $v=\omega R$,
signos coherentes con el sentido elegido. Si no cuadra, se revisa.

✍️ Ejercicios resueltos

Calibración. fórmula/método → desarrollo → resultado → comprobación. Unidades SI. $g=9.81$ m/s².
Fuentes: Hibbeler; Norton.

E1 · Distancia de frenado (a constante) (M1)

Coche $v_0=20$ m/s, $a=-4$ m/s², hasta parar.
– $v^{2}=v_0^{2}+2a\,s\to 0=400-8s\to s=50$.
– Resultado: $s=50$ m.
– Comprobación: $t=\dfrac{v_0}{\lvert a\rvert}=5$ s, $s=\dfrac{v_0 t}{2}=50$ m ✓.

E2 · Caída libre (M1)

Desde reposo, $t=3$ s.
– $v=g t=9.81\cdot3=29.4$ m/s; $y=\dfrac12 g t^{2}=\dfrac12\cdot9.81\cdot9=44.1$ m.
– Resultado: $v\approx29.4$ m/s, $y\approx44.1$ m.
– Comprobación: $v^{2}=2gy\to 29.4^{2}\approx2\cdot9.81\cdot44.1$ ✓.

E3 · Alcance de proyectil (M2)

$v_0=20$ m/s, $\theta=30^\circ$, mismo nivel.
– $R=\dfrac{v_0^{2}\sin(2\theta)}{g}=\dfrac{400\cdot\sin60}{9.81}=\dfrac{346.4}{9.81}$.
– Resultado: $R\approx35.3$ m.
– Comprobación: máximo teórico a 45°; a 30^\circ menor, coherente ✓.

E4 · Altura máxima de proyectil (M2)

Mismos datos que E3.
– $H=\dfrac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=\dfrac{400\cdot0.25}{19.62}=\dfrac{100}{19.62}$.
– Resultado: $H\approx5.10$ m.
– Comprobación: $v_y$ se anula en el ápice ✓.

E5 · Aceleración en curva (n-t) (M3)

$v=20$ m/s, $\rho=100$ m, acelerando $a_t=2$ m/s².
– $a_n=\dfrac{v^{2}}{\rho}=\dfrac{400}{100}=4$; $a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$.
– Resultado: $a\approx4.47$ m/s².
– Comprobación: $a_n$ hacia el centro ✓.

E6 · Velocidad relativa (río) (M4)

Barca $5$ m/s perpendicular a una corriente de $3$ m/s.
– $v=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}$; ángulo respecto a la orilla $\arctan\dfrac{3}{5}=31^\circ$ de deriva.
– Resultado: $v\approx5.83$ m/s.
– Comprobación: suma vectorial $\perp$ ✓.

E7 · Rotación uniformemente acelerada (M5)

Rueda desde reposo, $\alpha=2$ rad/s², $t=5$ s.
– $\omega=\alpha t=10$ rad/s; $\theta=\dfrac12\alpha t^{2}=25$ rad.
– Resultado: $\omega=10$ rad/s, $\theta=25$ rad.
– Comprobación: $\omega^{2}=2\alpha\theta\to100=2\cdot2\cdot25$ ✓.

E8 · Punto de un sólido en rotación (M5)

$r=0.3$ m, $\omega=10$ rad/s, $\alpha=2$ rad/s².
– $v=\omega r=3$ m/s; $a_n=\omega^{2}r=30$; $a_t=\alpha r=0.6$; $a=\sqrt{30^{2}+0.6^{2}}$.
– Resultado: $v=3$ m/s, $a\approx30.0$ m/s².
– Comprobación: domina $a_n$ (giro rápido) ✓.

E9 · Rodadura sin deslizar (CIR) (M6)

Rueda $R=0.4$ m, centro a $v=2$ m/s.
– $\omega=\dfrac{v}{R}=5$ rad/s. CIR en el contacto ⇒ punto más alto $v_\text{top}=\omega\,(2R)=5\cdot0.8$.
– Resultado: $\omega=5$ rad/s, $v_\text{top}=4$ m/s.
– Comprobación: contacto con el suelo $v=0$ ✓ (es el CIR).

E10 · Grados de libertad (Grübler) (M7)

Cuadrilátero articulado: $n=4$ eslabones, $j_1=4$ pares de revoluta, $j_2=0$.
– $\text{GDL}=3(n-1)-2j_1-j_2=3\cdot3-8=1$.
– Resultado: $\text{GDL}=1$ (un solo motor lo gobierna).
– Comprobación: coincide con el mecanismo de 1 GDL típico (biela-manivela) ✓.

📋 Formulario

Unidades SI (m, s, rad). Fuentes: Hibbeler; Norton (mecanismos). La cinemática describe el movimiento; las causas son cosa de la dinámica.

1. Movimiento rectilíneo

Definiciones: $v=\dfrac{dx}{dt}$, $a=\dfrac{dv}{dt}=v\,\dfrac{dv}{dx}$. (La 3ª forma elimina el tiempo.)
Uniforme ($a=0$): $x=x_0+v\,t$.
Uniformemente acelerado ($a=\text{cte}$): $v=v_0+a\,t$; $x=x_0+v_0 t+\dfrac12 a t^{2}$; $v^{2}=v_0^{2}+2a(x-x_0)$.
Gráficas: pendiente de $x(t)$ = $v$; pendiente de $v(t)$ = $a$; área bajo $v(t)$ = $\Delta x$; área bajo $a(t)$ = $\Delta v$.

2. Movimiento de proyectiles ($a=-g$ en $y$, $0$ en $x$)

$x=v_{0x}\,t$; $y=y_0+v_{0y}\,t-\dfrac12 g t^{2}$; $v_{0x}=v_0\cos\theta$, $v_{0y}=v_0\sin\theta$.
Alcance (mismo nivel): $R=\dfrac{v_0^{2}\sin(2\theta)}{g}$; altura máx $H=\dfrac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$; tiempo de vuelo $t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$.

3. Movimiento curvilíneo (componentes)

Normal-tangencial: $a_t=\dfrac{dv}{dt}$ (cambia la rapidez), $a_n=\dfrac{v^{2}}{\rho}$ (cambia la dirección, hacia el centro).
$a=\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}$. $\rho$=radio de curvatura.
Polares: $v_r=\dot r$, $v_\theta=r\,\dot\theta$; $a_r=\ddot r-r\,\dot\theta^{2}$, $a_\theta=r\,\ddot\theta+2\,\dot r\,\dot\theta$ (término de Coriolis $2\dot r\dot\theta$).

4. Movimiento relativo (traslación)

$\vec r_B=\vec r_A+\vec r_{B/A}$; $\vec v_B=\vec v_A+\vec v_{B/A}$; $\vec a_B=\vec a_A+\vec a_{B/A}$.

5. Rotación de sólido rígido respecto a eje fijo

Análogas a §1 con $\theta,\omega,\alpha$: $\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$, $\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}=\omega\,\dfrac{d\omega}{d\theta}$.
$\alpha=\text{cte}$: $\omega=\omega_0+\alpha t$; $\theta=\theta_0+\omega_0 t+\dfrac12\alpha t^{2}$; $\omega^{2}=\omega_0^{2}+2\alpha(\theta-\theta_0)$.
Punto a distancia $r$ del eje: $v=\omega r$ (tangencial); $a_t=\alpha r$, $a_n=\omega^{2} r$.

6. Movimiento plano general (traslación + rotación)

Velocidades relativas: $\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}$ (en plano, $\lvert\vec\omega\times\vec r\rvert=\omega\,r$, $\perp$ a $\vec r$).
Aceleraciones relativas: $\vec a_B=\vec a_A+\vec\alpha\times\vec r_{B/A}-\omega^{2}\,\vec r_{B/A}$.
Centro instantáneo de rotación (CIR): punto de velocidad nula; entonces $v_P=\omega\,d_{P\to\text{CIR}}$.
Rodadura sin deslizar: el CIR es el punto de contacto, $v_\text{centro}=\omega R$.

7. Mecanismos (introducción)

Grados de libertad (Grübler, plano): $\text{GDL}=3(n-1)-2j_1-j_2$ (n=eslabones, j=pares).
Análisis de un cuadrilátero/biela-manivela: aplicar §6 (velocidades y aceleraciones relativas) o CIR.

Pendiente de ampliar

Curvas de leva, engranajes, análisis completo de mecanismos · movimiento 3D.

Resistencia de materiales

📖 Teoría

El porqué del formulario. Fuentes: Hibbeler; Timoshenko.

1. De la fuerza a la tensión

La estática da las fuerzas internas; la resistencia de materiales pregunta si el material aguanta.
La magnitud clave es la tensión ($\sigma=\dfrac{N}{A}$): fuerza repartida por unidad de área. Dos piezas con la
misma carga pero distinta sección sufren tensiones muy distintas. El objetivo práctico es que la
tensión de trabajo quede por debajo de la admisible, con un factor de seguridad.

2. Hooke: el material como resorte

En la zona elástica, tensión y deformación son proporcionales ($\sigma=E\varepsilon$): el material se comporta como un
resorte y vuelve a su forma al descargar. El módulo de Young $E$ es la rigidez del material (acero
~200 GPa, aluminio ~70). Pasado el límite elástico $\sigma_y$ queda deformación permanente. Todo el
diseño elástico vive por debajo de $\sigma_y$. El coeficiente de Poisson captura que al estirar en una
dirección, el material se contrae en las perpendiculares.

3. Torsión: cortante que crece con el radio

Al torsionar un eje, las secciones giran unas respecto a otras y aparece cortante $\tau=\dfrac{T r}{J}$, máximo en
la superficie (por eso los ejes huecos son eficientes: el material del centro casi no trabaja). El
ángulo de giro $\varphi=\dfrac{T L}{G J}$ mide la rigidez torsional. Es la base del cálculo de árboles de transmisión.

4. Flexión: la estrella de las vigas

Al flexar una viga, una cara se estira (tracción) y la opuesta se comprime; en medio está la fibra
neutra ($\sigma=0$). La tensión crece linealmente con la distancia al centro: $\sigma=\dfrac{M y}{I}$, máxima en las fibras
extremas. De aquí sale por qué los perfiles en doble T (IPN/IPE) son tan buenos: ponen el material
lejos del eje, donde más trabaja, maximizando $I$ con poco peso. Antes de aplicar la fórmula hay que
hallar $M(x)$ dibujando los diagramas de cortante y momento (relacionados por $\dfrac{dM}{dx}=V$).

5. Deflexión: rigidez, no solo resistencia

Una viga puede aguantar sin romperse pero flectar demasiado (inservible). La línea elástica
($E I\,y»=M$) da la flecha. Aparece $EI$ (rigidez a flexión) y la longitud a la tercera o cuarta
potencia: por eso duplicar la luz dispara la flecha, y por eso la rigidez suele mandar sobre la
resistencia en el dimensionado real.

6. Estado de tensión y Mohr: mirar el punto desde todos los ángulos

En un punto, la tensión depende de la orientación del plano que consideres. Las tensiones
principales son los valores máximo y mínimo (en planos sin cortante), y el círculo de Mohr es la
forma gráfica de obtener tensiones en cualquier orientación. Importa porque los materiales fallan según
estas tensiones, no según las de los ejes que elegiste arbitrariamente.

7. Criterios de fallo: cuándo cede de verdad

Un estado combinado (varias tensiones a la vez) requiere un criterio para predecir la fluencia.
Tresca (cortante máximo) es conservador y simple; Von Mises (energía de distorsión) ajusta
mejor a los metales dúctiles y es el estándar en ingeniería. Reducen un estado complejo a una «tensión
equivalente» comparable con $\sigma_y$.

8. Pandeo: fallo por inestabilidad, no por tensión

Una columna esbelta puede fallar antes de alcanzar $\sigma_y$, doblándose de golpe: es el pandeo, un
problema de estabilidad. La carga crítica de Euler $P_\text{cr}=\dfrac{\pi^{2}EI}{L_e^{2}}$ depende de la rigidez y, sobre todo,
de la esbeltez y de las condiciones de apoyo (longitud efectiva). Es un modo de fallo distinto y a
menudo el que manda en elementos largos comprimidos: ignorarlo es un error clásico y peligroso.

🧭 Métodos

Fuentes: Hibbeler; Timoshenko. Unidades SI.

M0. Protocolo general

Estática primero: reacciones y esfuerzos internos (N, V, M, T) en la sección crítica.
Identifica el tipo de solicitación (axial / torsión / flexión / combinada).
Aplica la fórmula de tensión correspondiente. 4. Compara con $\sigma_\text{adm}=\dfrac{\sigma_y}{n}$. 5. Comprueba también
deformación/flecha y, si hay compresión esbelta, pandeo.

M1. Carga axial

$\sigma=\dfrac{N}{A}$; verifica $\sigma\le\sigma_\text{adm}$. 2. Alargamiento $\delta=\dfrac{NL}{AE}$ (suma por tramos).
Térmico: $\delta_T=\alpha\Delta T\,L$; si está impedido, $\sigma=E\alpha\Delta T$. 4. Estáticamente indeterminado: añade
compatibilidad de desplazamientos ($\sum\delta=0$ o impuesta).

M2. Torsión

Halla $T$ en la sección. 2. $J$ (macizo $\dfrac{\pi c^{4}}{2}$, hueco). 3. $\tau_\text{max}=\dfrac{Tc}{J}$; compara con $\tau_\text{adm}$.
Giro $\varphi=\dfrac{TL}{GJ}$. 5. Diseño de árbol por potencia: $T=\dfrac{P}{\omega}$.

M3. Flexión de viga

Reacciones (estática). 2. Diagramas $V(x)$ y $M(x)$ (usa $\dfrac{dM}{dx}=V$); localiza $M_\text{max}$.
$\sigma_\text{max}=\dfrac{M_\text{max}\,c}{I}=\dfrac{M_\text{max}}{S}$; compara con $\sigma_\text{adm}$. 4. Cortante: $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$ donde haga falta.
Dimensiona pidiendo $S\ge\dfrac{M_\text{max}}{\sigma_\text{adm}}$.

M4. Deflexión

$E I\,y»=M(x)$; integra dos veces. 2. Aplica condiciones de contorno (apoyos: y=0; empotramiento:
y=0 e y’=0). 3. O usa los casos tabulados (voladizo $\dfrac{PL^{3}}{3EI}$, biapoyada central $\dfrac{PL^{3}}{48EI}$,
UDL $\dfrac{5wL^{4}}{384EI}$) y superponlos. 4. Comprueba $y_\text{max}\le y_\text{adm}$.

M5. Estado de tensión combinado / Mohr

Reúne $\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$ en el punto. 2. Principales $\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm R$,
$R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}=\tau_\text{max}$. 3. Orientación $\tan2\theta_p=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$.
Dibuja el círculo de Mohr para visualizar.

M6. Verificación de fallo (dúctil)

Halla las principales (M5). 2. Von Mises $\sigma_\text{vm}=\sqrt{\sigma_1^{2}-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^{2}}$ o Tresca $\sigma_1-\sigma_3$.
Seguridad $n=\dfrac{\sigma_y}{\sigma_\text{equivalente}}$. Si $n<1$, falla.

M7. Pandeo de columna

Identifica condiciones de apoyo → $K$ y $L_e=KL$. 2. $P_\text{cr}=\dfrac{\pi^{2}EI}{L_e^{2}}$ (usa la I mínima).
$\sigma_\text{cr}=\dfrac{\pi^{2}E}{(L_e/r)^{2}}$; si $\sigma_\text{cr}<\sigma_y$ el pandeo manda (columna esbelta); si no, es fallo por
compresión/fluencia. 4. Seguridad sobre $P_\text{cr}$.

Comprobación final

Unidades (Pa, m, N·m). Sanity: $\sigma$ en MPa razonable para el material, flechas pequeñas frente a la luz,
en compresión esbelta SIEMPRE chequear pandeo. Si no cuadra, se revisa.

✍️ Ejercicios resueltos

Calibración. fórmula/método → desarrollo → resultado → comprobación. Unidades SI (Pa, m).
Acero típico: $E=200$ GPa, $\alpha=12\cdot10^{-6}$ /°C. Fuentes: Hibbeler; Timoshenko.

E1 · Tensión axial (M1)

Barra $A=500$ mm² $=5\cdot10^{-4}$ m², $N=50$ kN.
– $\sigma=\dfrac{N}{A}=\dfrac{50000}{5\cdot10^{-4}}$.
– Resultado: $\sigma=1\cdot10^{8}$ Pa $=100$ MPa.
– Comprobación: orden típico de acero en servicio ✓.

E2 · Alargamiento axial (M1)

Misma barra, $L=2$ m, $E=200$ GPa.
– $\delta=\dfrac{NL}{AE}=\dfrac{50000\cdot2}{5\cdot10^{-4}\cdot200\cdot10^{9}}=\dfrac{100000}{1\cdot10^{8}}$.
– Resultado: $\delta=1\cdot10^{-3}$ m $=1$ mm.
– Comprobación: $\varepsilon=\dfrac{\delta}{L}=5\cdot10^{-4}$, $\sigma=E\varepsilon=100$ MPa ✓ (coincide con E1).

E3 · Tensión térmica (impedida) (M1)

$\Delta T=50$ °C, restricción total.
– $\sigma=E\,\alpha\,\Delta T=200\cdot10^{9}\cdot12\cdot10^{-6}\cdot50$.
– Resultado: $\sigma=120$ MPa (compresión).
– Comprobación: sin restricción $\delta_T=\alpha\Delta T\,L$; impedido ⇒ aparece esa $\sigma$ ✓.

E4 · Torsión de eje macizo (M2)

$c=0.02$ m, $T=500$ N·m.
– $J=\dfrac{\pi c^{4}}{2}=\dfrac{\pi(0.02)^{4}}{2}=2.513\cdot10^{-7}$ m⁴. $\tau_\text{max}=\dfrac{Tc}{J}=\dfrac{500\cdot0.02}{2.513\cdot10^{-7}}$.
– Resultado: $\tau_\text{max}\approx39.8$ MPa.
– Comprobación: máx en la superficie ✓.

E5 · Tensión por flexión (M3)

Viga rectangular $b=0.05$ m, $h=0.10$ m, $M=2000$ N·m.
– $I=\dfrac{bh^{3}}{12}=4.167\cdot10^{-6}$ m⁴, $c=\dfrac{h}{2}=0.05$. $\sigma_\text{max}=\dfrac{Mc}{I}=\dfrac{2000\cdot0.05}{4.167\cdot10^{-6}}$.
– Resultado: $\sigma_\text{max}\approx24$ MPa.
– Comprobación: $S=\dfrac{I}{c}=8.33\cdot10^{-5}$, $\sigma=\dfrac{M}{S}=24$ MPa ✓.

E6 · Flecha de viga biapoyada (carga central) (M4)

$P=10$ kN, $L=4$ m, $E=200$ GPa, $I=4.167\cdot10^{-6}$ m⁴ (E5).
– $y_\text{max}=\dfrac{PL^{3}}{48EI}=\dfrac{10000\cdot64}{48\cdot200\cdot10^{9}\cdot4.167\cdot10^{-6}}=\dfrac{640000}{4.0\cdot10^{7}}$.
– Resultado: $y_\text{max}\approx0.016$ m $=16$ mm.
– Comprobación: crece con $L^{3}$ y baja con $EI$ ✓.

E7 · Tensiones principales (Mohr) (M5)

$\sigma_x=80$, $\sigma_y=20$, $\tau_{xy}=30$ MPa.
– Centro $\dfrac{80+20}{2}=50$; $R=\sqrt{\left(\dfrac{80-20}{2}\right)^{2}+30^{2}}=\sqrt{900+900}=42.4$.
– Resultado: $\sigma_1\approx92.4$ MPa, $\sigma_2\approx7.6$ MPa.
– Comprobación: $\sigma_1+\sigma_2=100=\sigma_x+\sigma_y$ (invariante) ✓.

E8 · Von Mises y seguridad (M6)

Con $\sigma_1=92.4$, $\sigma_2=7.6$ MPa (E7), $\sigma_y=250$ MPa.
– $\sigma_\text{vm}=\sqrt{\sigma_1^{2}-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^{2}}=\sqrt{8538-702+58}=\sqrt{7894}$.
– Resultado: $\sigma_\text{vm}\approx88.8$ MPa; $n=\dfrac{\sigma_y}{\sigma_\text{vm}}=\dfrac{250}{88.8}\approx2.8$.
– Comprobación: $\sigma_2<\sigma_\text{vm}<\sigma_1$, coherente ✓.

E9 · Pandeo de Euler (M7)

Columna biarticulada ($K=1$), $E=200$ GPa, $I=4.167\cdot10^{-6}$ m⁴, $L=3$ m.
– $P_\text{cr}=\dfrac{\pi^{2} EI}{L^{2}}=\dfrac{9.87\cdot200\cdot10^{9}\cdot4.167\cdot10^{-6}}{9}=\dfrac{8.226\cdot10^{6}}{9}$.
– Resultado: $P_\text{cr}\approx914$ kN.
– Comprobación: baja con $L^{2}$; usar la $I$ mínima ✓.

E10 · Factor de seguridad axial (M0)

$\sigma=100$ MPa (E1), $\sigma_y=250$ MPa.
– $n=\dfrac{\sigma_y}{\sigma}=\dfrac{250}{100}$.
– Resultado: $n=2.5$.
– Comprobación: $n>1$ ⇒ no fluye ✓.

📋 Formulario

Unidades SI ($\text{Pa}=\text{N/m}^{2}$, m). $\sigma$ tensión normal, $\tau$ cortante,
$\varepsilon$ deformación unitaria, $E$ módulo de Young, $I$ inercia de área. Fuentes: Hibbeler Mechanics of Materials; Timoshenko.

1. Tensión y deformación

Tensión normal: $\sigma=\dfrac{N}{A}$ [Pa] (N=fuerza axial, A=área). Cortante: $\tau=\dfrac{V}{A}$.
Deformación unitaria: $\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}$ (axial); cortante $\gamma$ (ángulo).
Ley de Hooke: $\sigma=E\,\varepsilon$ (zona elástica). Cortante $\tau=G\,\gamma$. $G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$, $\nu$=Poisson.
Deformación lateral: $\varepsilon_\text{lat}=-\nu\,\varepsilon_\text{long}$.
Alargamiento axial: $\delta=\dfrac{N\,L}{A\,E}$. Varios tramos: $\delta=\sum\dfrac{N_i L_i}{A_i E_i}$.
Térmica: $\delta_T=\alpha\,\Delta T\,L$ (libre); si está impedida, aparece $\sigma=E\,\alpha\,\Delta T$.

2. Diagrama tensión-deformación (dúctil)

Tramo lineal (E) → límite proporcional → límite elástico $\sigma_y$ (fluencia) → endurecimiento →
resistencia última $\sigma_u$ → rotura. Factor de seguridad: $n=\dfrac{\sigma_y}{\sigma_\text{adm}}$ (o sobre $\sigma_u$).

3. Torsión (ejes circulares)

Tensión cortante: $\tau=\dfrac{T\,r}{J}$ (máx en la superficie, $r=c$). $J$=momento polar
(macizo $J=\dfrac{\pi c^{4}}{2}$; hueco $J=\dfrac{\pi(c_o^{4}-c_i^{4})}{2}$).
Ángulo de giro: $\varphi=\dfrac{T\,L}{G\,J}$ [rad]. Potencia-par: $P=T\,\omega$.

4. Flexión de vigas

Esfuerzos internos: cortante $V(x)$ y momento flector $M(x)$. Relaciones: $\dfrac{dV}{dx}=-w(x)$,
$\dfrac{dM}{dx}=V$. (Dibujar diagramas de V y M.)
Fórmula de la flexión: $\sigma=-\dfrac{M\,y}{I}$ (máx en la fibra extrema $y=c$: $\sigma_\text{max}=\dfrac{M\,c}{I}=\dfrac{M}{S}$, $S=\dfrac{I}{c}$
módulo resistente).
Cortante en vigas: $\tau=\dfrac{V\,Q}{I\,b}$ ($Q$=primer momento del área por encima del punto).

5. Deflexión de vigas (línea elástica)

Ecuación: $E\,I\,y»=M(x)$; integrar dos veces con condiciones de contorno (apoyos).
Casos típicos (carga P, longitud L):
Voladizo, carga en punta: $y_\text{max}=\dfrac{P L^{3}}{3EI}$.
Biapoyada, carga central: $y_\text{max}=\dfrac{P L^{3}}{48EI}$.
Biapoyada, UDL w: $y_\text{max}=\dfrac{5 w L^{4}}{384EI}$.

6. Estado de tensión combinado y círculo de Mohr

Tensiones en un punto: $\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$. Principales:
$\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}$.
Cortante máximo: $\tau_\text{max}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}$. Orientación $\tan2\theta_p=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$.
Círculo de Mohr: centro $\left(\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\,0\right)$, radio $\tau_\text{max}$.

7. Criterios de fallo (dúctiles)

Tresca (cortante máximo): fluye si $\sigma_1-\sigma_3\ge\sigma_y$.
Von Mises (energía de distorsión): $\sigma_\text{vm}=\sqrt{\sigma_1^{2}-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^{2}}\ge\sigma_y$ (plano).

8. Pandeo de columnas (Euler)

Carga crítica: $P_\text{cr}=\dfrac{\pi^{2} E I}{(L_e)^{2}}$. Longitud efectiva $L_e=K\,L$:
biarticulada $K=1$; empotrada-libre $K=2$; biempotrada $K=0.5$; empotrada-articulada $K\approx0.7$.
Tensión crítica: $\sigma_\text{cr}=\dfrac{\pi^{2} E}{(L_e/r)^{2}}$, $r=\sqrt{\dfrac{I}{A}}$ (radio de giro); $L_e/r$=esbeltez.
Válido si $\sigma_\text{cr}<\sigma_y$ (columna esbelta).

Pendiente de ampliar

Recipientes a presión · vigas hiperestáticas · fatiga · concentración de tensiones. Conecta con Cálculo de estructuras.

Cálculo de estructuras

📖 Teoría

El porqué del formulario. Fuentes: Eurocódigos; Hibbeler.

1. Qué añade respecto a Estática y Resistencia

La estática resuelve estructuras isostáticas (equilibrio basta). Pero las estructuras reales suelen
ser hiperestáticas (más apoyos/barras de los estrictamente necesarios): más seguras y rígidas, pero
el equilibrio ya no alcanza para resolverlas. El cálculo de estructuras aporta las herramientas para
esos casos, combinando equilibrio con compatibilidad de deformaciones y el comportamiento del
material (Resistencia). Lo primero siempre es contar el grado de hiperestaticidad.

2. Dos filosofías: fuerzas vs. desplazamientos

Hay dos formas duales de plantearlo:
– Método de las fuerzas (flexibilidad): tomas como incógnitas las reacciones redundantes, liberas
la estructura hasta hacerla isostática, y exiges que las deformaciones sean compatibles. Bueno a mano
con pocas redundantes.
– Método de los desplazamientos (rigidez): tomas como incógnitas los movimientos de los nudos.
Es sistemático, se automatiza y escala: es el que usan todos los programas. Por eso es el que conviene
dominar conceptualmente.

3. El método de rigidez es Álgebra lineal

Todo el método matricial se reduce a una ecuación: $[K]\{u\}=\{F\}$ — la matriz de rigidez por los
desplazamientos da las fuerzas. Montar $[K]$ (ensamblar las rigideces de cada barra), imponer las
condiciones de contorno y resolver el sistema es exactamente lo que se vio en Álgebra (sistemas,
matrices, inversa). De ahí que Álgebra fuera prerrequisito: una estructura es, computacionalmente, un
sistema lineal grande. Los elementos finitos son la generalización de esta idea a medios continuos.

4. Rigidez de barra: el ladrillo

Cada barra aporta rigidez: a tracción $\dfrac{EA}{L}$, a flexión términos con $\dfrac{EI}{L}$. Intuitivamente, una barra
es un muelle (o varios, uno por GDL). Ensamblar la estructura es conectar esos muelles en los nudos
comunes sumando sus rigideces. Cuanto más rígida la barra (más $E$, más $I$/$A$, menos $L$), más carga
atrae hacia sí: las estructuras hiperestáticas reparten la carga según rigideces.

5. Líneas de influencia: cargas que se mueven

Cuando la carga no es fija (un tren, un vehículo en un puente), interesa saber dónde colocarla para el
efecto máximo. Las líneas de influencia dan, para un esfuerzo concreto, su valor según la posición de
una carga unidad. El principio de Müller-Breslau las obtiene como una deformada, conectando otra vez con
la idea de rigidez/compatibilidad.

6. Seguridad: por qué los coeficientes parciales (Eurocódigo)

El diseño moderno no usa un único factor de seguridad global, sino coeficientes parciales: se
mayoran las cargas ($\gamma_G=1.35$, $\gamma_Q=1.5$) y se minoran las resistencias ($\gamma_M$), de forma que cada
fuente de incertidumbre se trata por separado y de modo probabilista. Se verifican dos familias de
estados límite: ELU (que no se rompa ni vuelque — resistencia) y ELS (que sea utilizable —
flechas, vibraciones, fisuración). Esta es la lógica normativa real (EN 1990) con la que se calcula hoy.

7. Dónde encaja todo

Cálculo de estructuras es la materia «cúpula» del bloque mecánico: usa el equilibrio de Estática,
las tensiones y rigideces de Resistencia, y el álgebra matricial del Bloque 0, todo bajo el
marco de seguridad de los Eurocódigos. Es el puente directo hacia la ingeniería civil/estructural
real.

🧭 Métodos

Fuentes: Eurocódigos EN 1990–1999; Hibbeler Structural Analysis. Unidades SI.

M0. Protocolo general

Modela la estructura (barras, nudos, apoyos, cargas). 2. Calcula el grado de hiperestaticidad
(§1 formulario). 3. Si $\text{GIE}=0$ → Estática directa; si $\text{GIE}>0$ → método de fuerzas o de rigidez.
Obtén esfuerzos (N, V, M) y comprueba secciones (Resistencia) y deformaciones. 5. Verifica con
las combinaciones del Eurocódigo (ELU y ELS).

M1. Clasificar la estructura

Cuenta barras $b$, reacciones $r$, nudos $n$, liberaciones $c$. 2. Pórtico plano:
$\text{GIE}=(3b+r)-(3n+c)$; armadura: $\text{GIE}=(b+r)-2n$. 3. Interpreta: 0 isostática, >0 hiperestática, <0 mecanismo.

M2. Método de las fuerzas (flexibilidad)

Elige las redundantes $X_i$ y libera la estructura → isostática base. 2. Calcula desplazamientos en
esos puntos por las cargas ($\delta_0$) y por cada redundante unitaria ($f_{ij}$). 3. Compatibilidad:
$[f]\{X\}=\{-\delta_0\}$ (o el valor impuesto). 4. Resuelve $\{X\}$. 5. Superpón para esfuerzos finales.

M3. Método matricial de rigidez

Matriz de rigidez local de cada barra ($\dfrac{EA}{L}$ axial; términos $\dfrac{EI}{L}$ en flexión).
Rota a coordenadas globales. 3. Ensambla $[K]$ global sumando en los GDL comunes.
Aplica condiciones de contorno (elimina filas/columnas de GDL restringidos).
Resuelve $\{u\}=[K]^{-1}\{F\}$ (Gauss, como en Álgebra). 6. Recupera esfuerzos en cada barra.

M4. Líneas de influencia

Define la magnitud (reacción/V/M en un punto). 2. Müller-Breslau: libera esa restricción y la
deformada resultante es la forma de la línea. 3. Coloca las cargas móviles donde maximicen el efecto.

M5. Combinaciones de carga (Eurocódigo EN 1990)

Clasifica acciones: permanentes $G$, variables $Q$ (principal y de acompañamiento).
ELU: $E_d=1.35\,G + 1.5\,Q_1 + 1.5\sum\psi_0 Q_i$. 3. ELS: combinaciones con $\gamma=1.0$ y $\psi$.
Verifica $E_d\le R_d$, con $R_d=\dfrac{R_k}{\gamma_M}$.

M6. Viga continua (rápido)

Momentos de empotramiento perfecto (tablas: UDL $\dfrac{wL^{2}}{12}$). 2. Reparte por rigideces (Cross) o usa
3 momentos / rigidez matricial. 3. Dibuja V y M finales; dimensiona con Resistencia (M3 de Resistencia).

Comprobación final

Unidades (kN, kN·m, m). Sanity: $\sum F=0$ y $\sum M=0$ globales tras resolver; las barras más rígidas se
llevan más carga; flechas dentro de ELS; $E_d\le R_d$. Si algo no cierra, se revisa.

✍️ Ejercicios resueltos

Calibración. fórmula/método → desarrollo → resultado → comprobación. Unidades SI (kN, m, kN·m).
Fuentes: Eurocódigos; Hibbeler Structural Analysis.

E1 · Grado de hiperestaticidad (viga apuntalada) (M1)

Voladizo empotrado (3 reacciones) con un apoyo de rodillo extra (1). $b=1$, $r=4$, $n=2$, $c=0$.
– $\text{GIE}=(3b+r)-(3n+c)=(3+4)-(6+0)=1$.
– Resultado: hiperestática de grado 1.
– Comprobación: una redundante ⇒ falta 1 ecuación de compatibilidad ✓.

E2 · Determinación de armadura (M1)

$b=11$ barras, $r=3$ reacciones, $n=7$ nudos.
– $\text{GIE}=(b+r)-2n=(11+3)-14=0$.
– Resultado: isostática (resoluble solo con equilibrio).
– Comprobación: $b+r=2n$ exacto ✓.

E3 · Rigidez axial de barra (M3)

$E=200$ GPa, $A=0.001\ \text{m}^{2}$, $L=2$ m.
– $k=\dfrac{EA}{L}=\dfrac{200\times 10^{9}\cdot 0.001}{2}$.
– Resultado: $k=1\times 10^{8}$ N/m.
– Comprobación: unidades $\dfrac{\text{Pa}\cdot\text{m}^{2}}{\text{m}}=\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ ✓.

E4 · Resolver un GDL $k\cdot u=F$ (M3)

Barra de E3, $F=50$ kN axial.
– $u=\dfrac{F}{k}=\dfrac{50000}{1\times 10^{8}}$.
– Resultado: $u=5\times 10^{-4}\ \text{m}=0.5\ \text{mm}$.
– Comprobación: coincide con $\delta=\dfrac{NL}{AE}$ de Resistencia ✓.

E5 · Momentos de empotramiento perfecto (UDL) (M6)

$w=10$ kN/m, $L=6$ m, viga biempotrada.
– $M_{\text{emp}}=\dfrac{wL^{2}}{12}=\dfrac{10\cdot 36}{12}$; centro $\dfrac{wL^{2}}{24}=15$.
– Resultado: $M_{\text{emp}}=\pm 30$ kN·m, $M_{\text{centro}}=+15$ kN·m.
– Comprobación: $M_{\text{emp}}$ (30) > $M_{\text{centro}}$ (15), forma típica ✓.

E6 · Combinación ELU (Eurocódigo) (M5)

Permanente $G=20$ kN/m, variable $Q=10$ kN/m.
– $E_d=1.35\cdot G+1.5\cdot Q=1.35\cdot 20+1.5\cdot 10=27+15$.
– Resultado: $E_d=42$ kN/m.
– Comprobación: mayora cargas, coherente con EN 1990 ✓.

E7 · Reparto por rigideces (factores de distribución) (M6)

Dos barras en un nudo, igual $EI$: $L_1=4$ m, $L_2=6$ m. Rigidez $\dfrac{4EI}{L}$.
– $k_1=EI$, $k_2=0.667EI$. $DF_1=\dfrac{k_1}{\sum k}=\dfrac{1}{1.667}=0.60$; $DF_2=0.40$.
– Resultado: la barra más corta se lleva el 60% del momento.
– Comprobación: $DF_1+DF_2=1$ ✓; más rígida ⇒ más carga ✓.

E8 · Sistema de rigidez 2×2 (M3)

$[K]=k\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{bmatrix}$, $k=1\times 10^{7}$ N/m, $\{F\}=\{10000, 0\}$ N.
– $\det=3k^{2}$; $[K]^{-1}=\dfrac{1}{3k}\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$. $u_1=\dfrac{2\cdot 10000}{3k}$, $u_2=\dfrac{10000}{3k}$.
– Resultado: $u_1\approx 6.67\times 10^{-4}$ m, $u_2\approx 3.33\times 10^{-4}$ m.
– Comprobación: $[K]\{u\}$ reproduce $\{10000,0\}$ ✓.

E9 · Verificación E_d ≤ R_d (M5)

Momento de cálculo $M_{Ed}=200$ kN·m; resistencia $R_k=300$ kN·m, $\gamma_M=1.1$.
– $R_d=\dfrac{R_k}{\gamma_M}=\dfrac{300}{1.1}=272.7$ kN·m. $200<272.7$.
– Resultado: cumple (aprovechamiento $\dfrac{200}{272.7}\approx 0.73$).
– Comprobación: $E_d\le R_d$ ✓; margen del 27% ✓.

E10 · Viga continua de dos vanos iguales (UDL) (M6)

Dos vanos $L=4$ m, $w=10$ kN/m.
– Momento en apoyo central $M=\dfrac{wL^{2}}{8}=\dfrac{10\cdot 16}{8}=20$ kN·m. Reacciones: central $1.25wL=50$ kN,
extremos $0.375wL=15$ kN.
– Resultado: $M_{\text{apoyo}}=-20$ kN·m; $R_{\text{centro}}=50$ kN, $R_{\text{extremos}}=15$ kN.
– Comprobación: $\sum R=15+50+15=80=2wL$ ✓.

📋 Formulario

Unidades SI (kN, m, kN·m). Fuentes: Eurocódigos EN 1990–1999; AISC; Hibbeler Structural Analysis. Confluyen Estática (equilibrio), Resistencia (tensiones) y Álgebra (matricial).

1. Tipología y grado de indeterminación

Grado de indeterminación estática (GIE): nº de incógnitas (reacciones + esfuerzos internos)
− nº de ecuaciones de equilibrio. $\text{GIE}=0$ isostática; $\text{GIE}>0$ hiperestática (de grado GIE);
$\text{GIE}<0$ mecanismo (inestable).
Viga/pórtico plano: $\text{GIE} = (3b + r) – (3n + c)$ (b=barras, r=reacciones, n=nudos, c=condiciones
de rótula/liberación). Armadura plana: $\text{GIE}=(b+r)-2n$.
Grado de indeterminación cinemática (GIC): nº de desplazamientos nodales libres (GDL) =
incógnitas del método de rigidez.

2. Métodos de análisis

Método de las fuerzas (flexibilidad): incógnitas = redundantes hiperestáticas. Se liberan,
se calcula la incompatibilidad y se impone compatibilidad: $[f]\{X\}=\{\delta_0\}$ (f=matriz de flexibilidad).
Método de los desplazamientos (rigidez): incógnitas = desplazamientos nodales. Ecuación maestra
$$[K]\{u\}=\{F\}$$

(K=matriz de rigidez global, u=desplazamientos, F=cargas nodales). Base del cálculo
matricial y de los elementos finitos.

3. Rigideces de barra (elemento prismático, $E$, $I$, $A$, $L$)

Axial (barra de armadura): $k_{\text{axial}} = \dfrac{EA}{L}$.
Flexión (extremos, viga): rigidez a giro $\dfrac{4EI}{L}$ (extremo cargado) y $\dfrac{2EI}{L}$ (transmitida).
Matriz de rigidez de barra biarticulada (armadura, local 1D): $\dfrac{EA}{L}\begin{bmatrix}1 & -1\\ -1 & 1\end{bmatrix}$.
Ensamblaje: sumar las contribuciones de cada barra en los GDL globales (montaje de $[K]$).

4. Método matricial de rigidez (pasos)

$\{F\} = [K]\{u\}$ → 1) matriz de cada barra (local) → 2) rotación a globales → 3) ensamblaje de $[K]$
→ 4) aplicar condiciones de contorno (eliminar GDL restringidos) → 5) resolver $\{u\}=[K]^{-1}\{F\}$
→ 6) recuperar esfuerzos en barras. (Es Álgebra lineal pura: resolver un sistema grande.)

5. Líneas de influencia

Representan el valor de una magnitud (reacción, V, M) en un punto al mover una carga unidad.
Müller-Breslau: la línea de influencia de un esfuerzo tiene la forma de la deformada al liberar esa
restricción. Uso: posicionar cargas móviles para el efecto máximo.

6. Combinaciones de carga (Eurocódigo EN 1990)

ELU (último, resistencia): $\sum \gamma_G G_k + \gamma_Q Q_{k,1} + \sum \gamma_Q \psi_0 Q_{k,i}$.
Valores típicos: $\gamma_G=1.35$ (permanente desfavorable), $\gamma_Q=1.5$ (variable).
ELS (servicio, deformación/fisuración): combinaciones característica/frecuente/casi-permanente
con $\gamma=1.0$ y factores $\psi$.
Verificación: $E_d \le R_d$ (efecto de cálculo ≤ resistencia de cálculo, $R_d=\dfrac{R_k}{\gamma_M}$).

7. Esfuerzos en vigas continuas (referencia rápida)

Teorema de los 3 momentos (Clapeyron) para vigas continuas, o método de rigidez.
Empotrada-empotrada con UDL w: momentos de empotramiento $M=\pm\dfrac{wL^{2}}{12}$; centro $+\dfrac{wL^{2}}{24}$.

Pendiente de ampliar

Pórticos con desplazamiento lateral · pretensado · análisis dinámico/sísmico (Eurocódigo 8) ·
EF detallado.

Las publicaciones de la sala